Bồi dưỡng Toán 7 phần Đại số với các bài tập tự giải dưới đây.
Bài 1: So sánh: $ {{2009}^{{20}}}$ và $ {{20092009}^{{10}}}$.
Bài 2: Tính tỉ số $ \dfrac{A}{B}$, biết:
$ A=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+…+\dfrac{1}{{2007}}+\dfrac{1}{{2008}}+\dfrac{1}{{2009}}$
$ B=\dfrac{{2008}}{1}+\dfrac{{2007}}{2}+\dfrac{{2006}}{3}+…+\dfrac{2}{{2007}}+\dfrac{1}{{2008}}$
Bài 3: Cho x, y, z, t ∈ N*
Chứng minh rằng: $ M = \dfrac{x}{{x+y+z}}+\dfrac{y}{{x+y+t}}+\dfrac{z}{{y+z+t}}+\dfrac{t}{{x+z+t}}$ có giá trị không phải là số tự nhiên.
Bài 4: Tìm x; y ∈ Z biết:
a. $25-y^{2}=8(x-2009)$
b. $ x^{3}y=xy^{3}+1997$
c. $x + y + 9 = xy – 7$.
Bài 5: Tìm x biết :
a. $ \left| {5(2x+3)} \right|+\left| {2(2x+3)} \right|+\left| {2x+3} \right|=16$
b. $ \left| {{{x}^{2}}+\left| {6x-2} \right|} \right|={{x}^{2}}+4$.
Bài 6: Chứng minh rằng : $ \dfrac{3}{{{{1}^{2}}{{{.2}}^{2}}}}+\dfrac{5}{{{{2}^{2}}{{{.3}}^{2}}}}+\dfrac{7}{{{{3}^{2}}{{{.4}}^{2}}}}+…+\dfrac{{19}}{{{{9}^{2}}{{{.10}}^{2}}}}$< 1
Bài 7: Cho n số x1, x2, …, xn mỗi số nhận giá trị 1 hoặc -1. Chứng minh rằng nếu x1.x2 + x2.x3
+ …+ xn.x1 = 0 thì n chia hết cho 4.
Bài 8: Chứng minh rằng:
$ S = \dfrac{1}{{{{2}^{2}}}}-\dfrac{1}{{{{2}^{4}}}}+\dfrac{1}{{{{2}^{6}}}}-…+\dfrac{1}{{{{2}^{{4n-2}}}}}-\dfrac{1}{{{{2}^{{4n}}}}}+…+\dfrac{1}{{{{2}^{{2002}}}}}-\dfrac{1}{{{{2}^{{2004}}}}}$ < 0,2
Bài 9: Tính giá trị của biểu thức A = $ {{x}^{n}}$+ $ \dfrac{1}{{{{x}^{n}}}}$ giả sử $ {{x}^{2}}+x+1=0$.
Bài 10: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $ \dfrac{{3-4x}}{{{{x}^{2}}+1}}$.
Bài 11: Cho $x, y, z$ là các số dương. Chứng minh rằng :
$ D = \dfrac{x}{{2x+y+z}}+\dfrac{y}{{2y+z+x}}+\dfrac{z}{{2z+x+y}}\le \dfrac{3}{4}$
Bài 12: Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức :
A(x) = ( 3 – 4x + x2 )2004 .( 3 + 4x + x2 )2005
Bài 13: Tìm các số a, b, c nguyên dương thỏa mãn : $ {{a}^{3}}+3{{a}^{2}}+5={{5}^{b}}$ và a + 3 = $ {{5}^{c}}$
Bài 14: Cho $x = 2005$. Tính giá trị của biểu thức :
$ {{x}^{{2005}}}-2006{{x}^{{2004}}}+2006{{x}^{{2003}}}-2006{{x}^{{2002}}}+…-2006{{x}^{2}}+2006x-1$
Bài 15: Rút gọn biểu thức: $ N = \dfrac{{x\left| {x-2} \right|}}{{{{x}^{2}}+8x-20}}+12x-3$
Bài 16: Trong 3 số x, y, z có 1 số dương, 1 số âm và một số 0. Hỏi mỗi số đó thuộc loại nào biết : $ \left| x \right|={{y}^{3}}-{{y}^{2}}z$
Bài 17: Tìm hai chữ số tận cùng của tổng sau:
$ B = 3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+{{3}^{4}}+…+{{3}^{{2009}}}$
Bài 18: Cho 3x – 4y = 0. Tìm min của biểu thức: $ M = {{x}^{2}}+{{y}^{2}}$.
Bài 19: Tìm x, y, z biết : $ \dfrac{{{{x}^{2}}}}{2}+\dfrac{{{{y}^{2}}}}{3}+\dfrac{{{{z}^{2}}}}{4}=\dfrac{{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}}{5}$.
Bài 20: Tìm x, y biết rằng : $ \ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\dfrac{1}{{{{x}^{2}}}}+\dfrac{1}{{{{y}^{2}}}}=4$
Bài 21: Cho a là số gồm 2n chữ số 1, b là số gồm n + 1 chữ số 1, c là số gồm n chữ số 6. Chứng minh rằng a + b + c + 8 là số chính phương.
Bài 22: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên a, tồn tại số tự nhiên b sao cho ab + 4 là số chính phương.
Bài 23: Chứng minh rằng nếu các chữ số a, b, c thỏa mãn điều kiện $ \overline{{ab}}:\overline{{cd}}=a:c$ thì $ \overline{{abbb}}:\overline{{bbbc}}=a:c$.
Bài 24: Tìm phân số $ \dfrac{m}{n}$ khác 0 và số tự nhiên k, biết rằng $ \dfrac{m}{n}=\dfrac{{m+k}}{{nk}}$.
Bài 25: Cho hai số tự nhiên a và b (a < b). Tìm tổng các phân số tối giản có mẫu bằng 7, mỗi phân số lớn hơn a nhưng nhỏ hơn b.
Bài 26: Chứng minh rằng: A = 1 + 3 + 5 + 7 + … + n là số chính phương (n lẻ).
Bài 27: Tìm n biết rằng: $ n ^{3}$ – n$ ^{2}+ 2n + 7$ chia hết cho $n ^{2} + 1$.
Bài 28: Chứng minh rằng: $ B = {{2}^{{{{2}^{{2n+1}}}}}}+3$ là hợp số với mọi số nguyên dương n.
Bài 29: Tìm số dư khi chia $ \displaystyle {{({{n}^{3}}-1)}^{{111}}}.{{({{n}^{2}}-1)}^{{333}}}$ cho n.
Bài 30: Tìm số tự nhiên n để 1n + 2n + 3n + 4n chia hết cho 5.
Bài 31:
a. Chứng minh rằng: Nếu a không là bội số của 7 thì a6 – 1 chia hết cho 7.
b. Cho f(x + 1)(x2 – 1) = f(x)(x2 +9) có ít nhất 4 nghiệm.
c. Chứng minh rằng: a5 – a chia hết cho 10.
Bài 32: Tính giá trị của biểu thức: $ A = 5{{y}^{4}}+7x-2{{z}^{5}}$ tại (x2 – 1) + (y – z)2 = 16.
Bài 33: Chứng minh rằng:
a. 0,5 ( 20072005 – 20032003 ) là một số nguyên.
b. $ M = \dfrac{{{{{1986}}^{{2004}}}-1}}{{{{{1000}}^{{2004}}}-1}}$ không thể là số nguyên.
c. Khi viết dưới dạng thập phân thì số hữu tỉ $ {{\left( {\dfrac{9}{{11}}-0,81} \right)}^{{2004}}}$có ít nhất 4000 chữ số 0 đầu tiên sau dấu phẩy.
Bài 34: So sánh A và B biết :
$ A = \dfrac{1}{{{{{101}}^{2}}}}+\dfrac{1}{{{{{102}}^{2}}}}+\dfrac{1}{{{{{103}}^{2}}}}+\dfrac{1}{{{{{104}}^{2}}}}+\dfrac{1}{{{{{105}}^{2}}}}$ và B = $ \dfrac{1}{{{{2}^{2}}{{{.3.5}}^{2}}.7}}$.
Bài 35: Tìm x biết :
a. $ \dfrac{{{{7}^{{x+2}}}+{{7}^{{x+1}}}+{{7}^{x}}}}{{57}}=\dfrac{{{{5}^{{2x}}}+{{5}^{{2x+1}}}+{{5}^{{2x+3}}}}}{{131}}$
b. (4x – 3)4 = (4x – 3)2
Bài 36: Ba ô tô cùng khởi hành từ A đi về phía B. Vận tốc của ô tô thứ nhất kém vận tốc của ô tô thứ hai là 3km/h. Thời gian ô tô thứ nhất, thứ hai, thứ ba đi hết quảng đường AB lần lượt là 40 phút, $ \dfrac{5}{8}$ giờ, $ \dfrac{5}{9}$ giờ. Tính vận tốc của mỗi ô tô.
Bài 37: Chứng minh rằng $ \sqrt{2}+ a$ (a $ \in $ Z+) là số vô tỉ.
Bài 38: Cho các số thực a, b sao cho tập hợp $ \left\{ {} \right.$a2 + a ; b$ \left. {} \right\}$ và $ \left\{ {} \right.$b2 + b ; b$ \left. {} \right\}$ bằng nhau. Chứng minh rằng : a = b.
Bài 39: Cho năm số tự nhiên a, b, c, d, e thỏa mãn : ab = bc = cd = de = ea.
Chứng minh rằng : a = b = c = d = e.
Bài 40: Tìm x, y biết:
a. 5x – 17y = 2xy và x – y = 5; 2x + 3y = xy.
b. x + 2y – 3z = 5xyz và (x – 2y)(y + 7) – x = 192 .( xyz > 0)