Bất đẳng thức Cosi cho 2 số, 3 số, 4 số, n số

Trong nhiều tài liệu Toán phổ thông Việt Nam, bất đẳng thức Cô-si/Cosi thường được dùng để chỉ bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, tức AM-GM. Cần phân biệt với Cauchy–Schwarz, thường gọi là Bunhiacopxki.

Phạm vi: Đây là nội dung Toán THCS nâng cao, phù hợp học sinh khá giỏi, ôn HSG và thi vào lớp 10 chuyên; không phải toàn bộ kiến thức trong bài đều thuộc yêu cầu chính khóa.

1. AM-GM tổng quát

Với \(n\) số thực không âm \(a_1,a_2,\ldots,a_n\):

\[\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\ge\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}.\]

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a_1=a_2=\cdots=a_n\).

2. Cho 2 số

Với \(a,b\ge0\): \[\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}.\]

Chứng minh từ \((\sqrt a-\sqrt b)^2\ge0\).

3. Cho 3 số

Với \(a,b,c\ge0\): \[\dfrac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{abc}.\]

Dấu bằng khi \(a=b=c\).

4. Cho 4 số

Với \(a,b,c,d\ge0\): \[\dfrac{a+b+c+d}{4}\ge\sqrt[4]{abcd}.\]

5. Dạng có hệ số

Với \(m,n,x>0\):

\[mx+\dfrac{n}{x}\ge2\sqrt{mn}.\]

Dấu bằng khi \(mx=\dfrac{n}{x}\), tức \(x=\sqrt{n/m}\).

6. Ví dụ tìm GTNN

Với \(x>0\), xét \(P=x+\dfrac4x\). Theo AM-GM:

\[P\ge2\sqrt{x\cdot\dfrac4x}=4.\]

Dấu bằng khi \(x=2\). Vậy GTNN của \(P\) là \(4\).

7. Cách nhận biết khi nên dùng AM-GM

• Có tổng các đại lượng không âm và cần tạo tích.
• Có biểu thức \(x+\dfrac{k}{x}\) với \(x>0\).
• Có tổng cố định và cần chặn tích.
• Có thể ghép hạng tử sao cho điều kiện dấu bằng phù hợp điểm cực trị.

8. Lỗi thường gặp

• Áp dụng AM-GM cho đại lượng chưa chắc không âm.
• Không kiểm tra điều kiện dấu bằng.
• Ghép hạng tử khiến các dấu bằng không thể xảy ra đồng thời.
• Nhầm AM-GM với Cauchy–Schwarz/Bunhiacopxki.

Bài viết liên quan

• Chuyên đề Bất đẳng thức và Cực trị THCS
• Bất đẳng thức Bunhiacopxki
• Cách chọn điểm rơi khi sử dụng bất đẳng thức Cosi
• Bài tập áp dụng bất đẳng thức Cosi