Một số bài toán rút gọn biểu thức chứa căn thức nâng cao

1) Các bài toán biến đổi đại số thông thường

Ví dụ 1. (Trích đề thi HSG huyện Nghi Xuân Hà Tĩnh)

Tính giá trị của biểu thức: $ A=\sqrt{{6-2\sqrt{5}}}+\sqrt{{14-6\sqrt{5}}}$

Lời giải.
Ta có: $ A=\sqrt{{6-2\sqrt{5}}}+\sqrt{{14-6\sqrt{5}}}=\sqrt{{{\left( {\sqrt{5}-1} \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( {3-\sqrt{5}} \right)}^{2}}}=\sqrt{5}-1+3-\sqrt{5}=2$

Ví dụ 2. (Trích đề thi HSG tỉnh Lâm Đồng năm 2010-2011)

Rút gọn  $ \displaystyle A=\sqrt{{127-48\sqrt{7}}}-\sqrt{{127+48\sqrt{7}}}$.

Lời giải.

Ta có: $ \displaystyle A=\sqrt{{127-48\sqrt{7}}}-\sqrt{{127+48\sqrt{7}}}$ =$ \displaystyle \sqrt{{{(8-3\sqrt{7})}^{2}}}-\sqrt{{{(8+3\sqrt{7})}^{2}}}$

= $ \displaystyle |8-3\sqrt{7}|-|8+3\sqrt{7}|$

$ \displaystyle =-6\sqrt{7}$

Ví dụ 3. (Trích đề thi chọn HSG tỉnh Hòa Bình Năm 2010-2011)

Cho $a=\sqrt{11+6 \sqrt{2}}+\sqrt{11-6 \sqrt{2}}$. Chứng minh rằng $ a$ là một số nguyên.

Lời giải.

$a=\sqrt{11+6 \sqrt{2}}+\sqrt{11-6 \sqrt{2}}=\sqrt{(3+\sqrt{2})^2}+\sqrt{(3-\sqrt{2})^2}=6$

Từ đó $ a$ là một số nguyên.

Ví dụ 4. (Trích đề thi HSG Phú Thọ năm 2012-2013)

Rút gọn biểu thức:    A=$ \displaystyle \sqrt{{\dfrac{{2\sqrt{{10}}+\sqrt{{30}}-2\sqrt{2}-\sqrt{6}}}{{2\sqrt{{10}}-2\sqrt{2}}}}}:\dfrac{2}{{\sqrt{3}-1}}$

Lời giải.

Ta có: $ \displaystyle \sqrt{{\dfrac{{2\sqrt{{10}}+\sqrt{{30}}-2\sqrt{2}-\sqrt{6}}}{{2\sqrt{{10}}-2\sqrt{2}}}}}:\dfrac{2}{{\sqrt{3}-1}}$=$ \sqrt{{\dfrac{{2\sqrt{2}(\sqrt{5}-1)+\sqrt{6}(\sqrt{5}-1)}}{{2\sqrt{2}(\sqrt{5}-1)}}}}.\dfrac{{\sqrt{3}-1}}{2}=\sqrt{{\dfrac{{2+\sqrt{3}}}{2}}}.\dfrac{{\sqrt{3}-1}}{2}=\sqrt{{\dfrac{{4+2\sqrt{3}}}{4}}}.\dfrac{{\sqrt{3}-1}}{2}=\dfrac{{\sqrt{3}+1}}{2}.\dfrac{{\sqrt{3}-1}}{2}=\dfrac{1}{2}$

Ví dụ 5. (Trích đề thi HSG T.P Bắc Giang năm 2016-2017)

Tính giá trị của biểu thức  N=$ \displaystyle \dfrac{{\sqrt{{4+\sqrt{3}}}+\sqrt{{4-\sqrt{3}}}}}{{\sqrt{{4+\sqrt{{13}}}}}}+\sqrt{{27-10\sqrt{2}}}$

Lời giải.

Ta có:

N=$ \displaystyle \dfrac{{\sqrt{2}(\sqrt{{4+\sqrt{3}}}+\sqrt{{4-\sqrt{3}}})}}{{\sqrt{{8+2\sqrt{{13}}}}}}+\sqrt{{25-10\sqrt{2}+2}}$

=$ \displaystyle \dfrac{{\sqrt{2}(\sqrt{{4+\sqrt{3}}}+\sqrt{{4-\sqrt{3}}})}}{{\sqrt{{(4+\sqrt{3})+2\sqrt{{4+\sqrt{3}}}\sqrt{{4-\sqrt{3}}}+(4+\sqrt{3})}}}}+\sqrt{{{(5-\sqrt{2})}^{2}}}$

$ \displaystyle =\dfrac{{\sqrt{2}(\sqrt{{4+\sqrt{3}}}+\sqrt{{4-\sqrt{3}}})}}{{\sqrt{{{(\sqrt{{4+\sqrt{3}}}+\sqrt{{4-\sqrt{3}}})}^{2}}}}}+\sqrt{{{(5-\sqrt{2})}^{2}}}=\dfrac{{\sqrt{2}(\sqrt{{4+\sqrt{3}}}+\sqrt{{4-\sqrt{3}}})}}{{\sqrt{{4+\sqrt{3}}}+\sqrt{{4-\sqrt{3}}}}}+\left| {5-\sqrt{2}} \right|=\sqrt{2}+5-\sqrt{2}=5$

Ví dụ 6. (Trích đề thi Chọn HSG tỉnh Long An năm 2012)

Không sử dụng máy tính, hãy thực hiện phép tính:

A = $ \dfrac{{\sqrt{{2-\sqrt{3}}}+\sqrt{{4-\sqrt{{15}}}}+\sqrt{{10}}}}{{\sqrt{{23-3\sqrt{5}}}}}$

Lời giải.

1/ Ta có:

A = $ \dfrac{{\sqrt{{2-\sqrt{3}}}+\sqrt{{4-\sqrt{{15}}}}+\sqrt{{10}}}}{{\sqrt{{23-3\sqrt{5}}}}}$  $ =\dfrac{{\sqrt{2}\left( {\sqrt{{2-\sqrt{3}}}+\sqrt{{4-\sqrt{{15}}}}+\sqrt{{10}}} \right)}}{{\sqrt{2}\left( {\sqrt{{23-3\sqrt{5}}}} \right)}}$

$ =\dfrac{{\sqrt{{4-2\sqrt{3}}}+\sqrt{{8-2\sqrt{{15}}}}+2\sqrt{5}}}{{\sqrt{{46-6\sqrt{5}}}}}$$ =\dfrac{{\sqrt{{{\left( {\sqrt{3}-1} \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( {\sqrt{5}-\sqrt{3}} \right)}^{2}}}+2\sqrt{5}}}{{\sqrt{{{\left( {3\sqrt{5}-1} \right)}^{2}}}}}$

$ =\dfrac{{\sqrt{3}-1+\sqrt{5}-\sqrt{3}+2\sqrt{5}}}{{3\sqrt{5}-1}}$$ =\dfrac{{3\sqrt{5}-1}}{{3\sqrt{5}-1}}$

= 1

Ví dụ 7. (Trích đề thi HSG huyện Nga Sơn-Thanh Hóa năm 2016-2017)

Rút gọn biểu thức: B = $ M>4.$

Lời giải.

Ta có:

$ 0<N=\dfrac{6}{M}<\dfrac{3}{2}$

Ví dụ 8. (Trích đề thi HSG huyện Thạch Hà năm 2016-2017)

So sánh $ \displaystyle N=\dfrac{6}{M}$ và $\dfrac{2.2016}{\sqrt{2017^2-1}+\sqrt{2016^2-1}}$

Lời giải.  Ta có: $ M>\dfrac{{2\sqrt{a}}}{{\sqrt{a}}}+2=4$

$ 0<N=\dfrac{6}{M}<\dfrac{3}{2}$

$ \dfrac{{6\sqrt{a}}}{{a+1+2\sqrt{a}}}=1$

Vậy $ a-4\sqrt{a}+1=0$  >  $ (\sqrt{a}-2)^{2}=3$

Ví dụ 9. (Trích đề thi HSG huyện Kim Thành năm học 2012-2013)

Rút gọn biểu thức $A=\dfrac{2 \sqrt{x}-9}{x-5 \sqrt{x}+6}-\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{2 \sqrt{x}+1}{3-\sqrt{x}}$

Lời giải.

Rút gọn biểu thức $A=\dfrac{2 \sqrt{x}-9}{x-5 \sqrt{x}+6}-\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{2 \sqrt{x}+1}{3-\sqrt{x}}$

ĐKXĐ: x ≠ 4; x ≠ 9

$\dfrac{2 \sqrt{x}-9}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)}-\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{2 \sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}=\dfrac{2 \sqrt{x}-9-x+9+2 x-3 \sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)}=\dfrac{x-\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)}$

$=\dfrac{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)}=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}$

2) Các bài toán rút gọn có sử dụng ẩn phụ để đơn giản hóa bài toán

Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức: $ A=\dfrac{2}{{\sqrt[4]{7}}}-\sqrt[4]{7}-\dfrac{{\sqrt{7}-\dfrac{1}{{\sqrt{7}}}}}{{\sqrt[4]{7}-\sqrt{{\dfrac{1}{{\sqrt{7}}}}}}}+\dfrac{6}{{\sqrt{7}\left( {\sqrt[4]{7}+\sqrt{{\dfrac{1}{{\sqrt{7}}}}}} \right)}}+\dfrac{7}{{\sqrt[4]{{343}}}}.$

Lời giải.

Đặt $ a=\sqrt[4]{7}\Rightarrow a^{4}=7$ và $ a^{2}=\sqrt{7}$ ta có:

$ \begin{array}{l}A=\dfrac{2}{a}-a-\dfrac{{a^{2}-\dfrac{1}{{a^{2}}}}}{{a-\dfrac{1}{a}}}+\dfrac{6}{{a^{2}\left( {a+\dfrac{1}{a}} \right)}}+\dfrac{7}{{a^{3}}}=\dfrac{{1-2a^{2}}}{a}+\dfrac{{13a^{2}+7}}{{a^{3}(a^{2}+1)}}\\=\dfrac{{a^{4}+a^{2}-2a^{6}-2a^{4}+13a^{2}+a^{4}}}{{a^{3}(a^{2}+1)}}=\dfrac{{2a^{2}(7-a^{4})}}{{a^{3}(a^{2}+1)}}=0\end{array}$

Do $ a^{4}=7$

Ví dụ 2.

Rút gọn biểu thức: $ B=\dfrac{2}{{\sqrt{{4-3\sqrt[4]{5}-2\sqrt[4]{{25}}-\sqrt[4]{{125}}}}}}.$

Lời giải.

Đặt $ b=\sqrt[4]{5}\Rightarrow b^{2}=\sqrt[4]{{25}},b^{3}=\sqrt[4]{{125}},b^{4}=5,b^{6}=5b^{2},b^{5}=5b.$

Ta có: $ B=\dfrac{2}{{\sqrt{{4-3b+2b^{2}-3b^{3}}}}}$

Mặt khác:

$ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{b^{3}-2b^{2}+3b-4}}=\dfrac{1}{{(b^{3}+3b)-(2b^{2}+4)}}=\dfrac{{(b^{3}+3b)+(2b^{2}+4)}}{{{(b^{3}+3b)}^{2}-{(2b^{2}+4)}^{2}}}\\=\dfrac{{b^{3}+3b+2b^{2}+4}}{{-2b^{2}-6}}=-\dfrac{{(b^{3}+2b^{2}+3b+4)(b^{2}-3)}}{{2(b^{4}-9)}}=\dfrac{{b^{5}+2b^{4}-2b^{2}-9b-12}}{8}\\=\dfrac{{-b^{2}-2b-1}}{4}=-\left( {\dfrac{{b+1}}{2}} \right)^{2}.\end{array}$

Vậy $ B=2\sqrt{{{\left( {\dfrac{2}{{b+1}}} \right)}^{2}}}=\dfrac{4}{{b+1}}=\dfrac{4}{{\sqrt[4]{5}+1}}.$

3) Rút gọn biểu thức căn thức chứa một hay nhiều ẩn số

Thí dụ 1. (Trích đề thi HSG tỉnh Hải Dương năm 2012-2013)

Rút gọn biểu thức: $ \mathrm{A=}\left( {\sqrt{{\mathrm{x}-\sqrt{{\mathrm{50}}}}}-\sqrt{{\mathrm{x+}\sqrt{{\mathrm{50}}}}}} \right)\sqrt{{\mathrm{x+}\sqrt{{\mathrm{x}^{\mathrm{2}}-\mathrm{50}}}}}$ với $ \mathrm{x}\ge \sqrt{{50}}$

Lời giải.

a) Ta có :

$ \displaystyle \begin{array}{l}\mathrm{A}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}\left( {\sqrt{{\mathrm{x-}\sqrt{{\mathrm{50}}}}}\mathrm{-}\sqrt{{\mathrm{x+}\sqrt{{\mathrm{50}}}}}} \right)^{\mathrm{2}}\left( {\mathrm{x+}\sqrt{{\mathrm{x}^{\mathrm{2}}\mathrm{-50}}}} \right)\Rightarrow \mathrm{A}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}\left( {\mathrm{x-}\sqrt{{\mathrm{50}}}\mathrm{+x+}\sqrt{{\mathrm{50}}}\mathrm{-2}\sqrt{{\mathrm{x}^{\mathrm{2}}\mathrm{-50}}}} \right)\left( {\mathrm{x+}\sqrt{{\mathrm{x}^{\mathrm{2}}\mathrm{-50}}}} \right)\\\Rightarrow \mathrm{A}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}\left( {\mathrm{2x-2}\sqrt{{\mathrm{x}^{\mathrm{2}}\mathrm{-50}}}} \right)\left( {\mathrm{x+}\sqrt{{\mathrm{x}^{\mathrm{2}}\mathrm{-50}}}} \right)\Rightarrow \mathrm{A}^{\mathrm{2}}\mathrm{=2}\left( {\mathrm{x}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{x}^{\mathrm{2}}\mathrm{+50}} \right)\end{array}$

Vậy: $ \displaystyle \mathrm{A}^{\mathrm{2}}\mathrm{=100}$

Nhưng do theo giả thiết ta thấy $ \mathrm{A=}\left( {\sqrt{{\mathrm{x-}\sqrt{{\mathrm{50}}}}}\mathrm{-}\sqrt{{\mathrm{x+}\sqrt{{\mathrm{50}}}}}} \right)\sqrt{{\mathrm{x+}\sqrt{{\mathrm{x}^{\mathrm{2}}\mathrm{-50}}}}}$<0

$ \Rightarrow \text{A= -10}$

Thí dụ 2. (Trích đề thi HSG Hải Dương năm 2013-2014)

Rút gọn biểu thức $ \displaystyle A=\dfrac{{\sqrt{{1-\sqrt{{1-x^{2}}}}}.\left( {\sqrt{{{(1+x)}^{3}}}+\sqrt{{{(1-x)}^{3}}}} \right)}}{{2-\sqrt{{1-x^{2}}}}}$với  $ \displaystyle -1\le x\le 1$.

Lời giải.

a) Ta có: $ \displaystyle A=\dfrac{{\sqrt{{1-\sqrt{{1-x^{2}}}}}.\left( {\sqrt{{1+x}}+\sqrt{{1-x}}} \right)\left( {2-\sqrt{{1-x^{2}}}} \right)}}{{2-\sqrt{{1-x^{2}}}}}$

$ \displaystyle =\sqrt{{1-\sqrt{{1-x^{2}}}}}.\left( {\sqrt{{1+x}}+\sqrt{{1-x}}} \right)$

$ \displaystyle =\sqrt{{\left( {1-\sqrt{{1-x^{2}}}} \right){\left( {\sqrt{{1+x}}+\sqrt{{1-x}}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{\left( {1-\sqrt{{1-x^{2}}}} \right)\left( {2+2\sqrt{{1-x^{2}}}} \right)}}$

$ \displaystyle =\sqrt{{2x^{2}}}$  = $ \displaystyle \left| x \right|\sqrt{2}$

Thí dụ 3. (Trích đề thi HSG T.P Bắc Giang năm 2016-2017)

Cho biểu thức  M=$ \dfrac{{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}}{{a-b}}-\dfrac{a}{{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}-\dfrac{b}{{\sqrt{b}-\sqrt{a}}}$ với a, b > 0 và a$ \ne $b

Rút gọi M và tính giá trị biểu thức M biết $ \left( {1-a} \right)\left( {1-b} \right)+2\sqrt{{ab}}=1$

Lời giải.

Rút gọn M=$ \displaystyle \dfrac{{\sqrt{{ab}}}}{{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}$ với a, b>0 và a$ \ne $b

-Ta có

$ \begin{array}{l}\left( {1-a} \right)\left( {1-b} \right)+2\sqrt{{ab}}=1\Leftrightarrow ab-a-b+1+2\sqrt{{ab}}=1\\\Leftrightarrow ab=\left( {\sqrt{a}-\sqrt{b}} \right)^{2}\Leftrightarrow (\dfrac{{\sqrt{{ab}}}}{{\sqrt{a}-\sqrt{b}}})^{2}=1\Leftrightarrow \left| {\dfrac{{\sqrt{{ab}}}}{{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}} \right|=1\end{array}$

+ Nếu a>b>0

$ \displaystyle \begin{array}{l}\Rightarrow \sqrt{a}>\sqrt{b}\Rightarrow \sqrt{a}-\sqrt{b}>0;\sqrt{{ab}}>0\Rightarrow \dfrac{{\sqrt{{ab}}}}{{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}>0\\\Rightarrow \left| {\dfrac{{\sqrt{{ab}}}}{{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}} \right|=\dfrac{{\sqrt{{ab}}}}{{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}\Rightarrow \dfrac{{\sqrt{{ab}}}}{{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}=1\Rightarrow M=1\end{array}$

+ nếu 0<a<b

$ \displaystyle \begin{array}{l}\Rightarrow \sqrt{a}<\sqrt{b}\Rightarrow \sqrt{a}-\sqrt{b}<0;\sqrt{{ab}}>0\Rightarrow \dfrac{{\sqrt{{ab}}}}{{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}<0\\\Rightarrow \left| {\dfrac{{\sqrt{{ab}}}}{{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}} \right|=\dfrac{{-\sqrt{{ab}}}}{{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}\Rightarrow \dfrac{{-\sqrt{{ab}}}}{{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}=1\Rightarrow M=-1\end{array}$

(Trích đề thi HSG huyện Nga Sơn-Thanh Hóa năm 2016-2017)

Thí dụ 4. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x:

A = $ \displaystyle M=\dfrac{{a+1}}{{\sqrt{a}}}+\dfrac{{a\sqrt{a}-1}}{{a-\sqrt{a}}}+\dfrac{{a^{2}-a\sqrt{a}+\sqrt{a}-1}}{{\sqrt{a}-a\sqrt{a}}}$

Điều kiện x ≥ 0, x ≠ 4; x ≠ 9; x ≠ 1

Lời giải.

Ta có:

$ \begin{array}{l}A\,\,=\,\,\dfrac{{6x-(x+6)\sqrt{x}-3}}{{2(x-4\sqrt{x}+3)(2-\sqrt{x})}}-\dfrac{3}{{-2x+10\sqrt{x}-12}}-\dfrac{1}{{3\sqrt{x}-x-2}}\\A\,\,=\,\,\dfrac{{6x-(x+6)\sqrt{x}-3}}{{2(2-\sqrt{x})(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}-1)}}-\dfrac{3}{{2(\sqrt{x}-3)(2-\sqrt{{x)}}}}-\dfrac{1}{{(2-\sqrt{x})(\sqrt{x}-1)}}\end{array}$

Do x $ \displaystyle \dfrac{{a\sqrt{a}-1}}{{a-\sqrt{a}}}=\dfrac{{(\sqrt{a}-1)(a+\sqrt{a}+1)}}{{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}}=\dfrac{{a+\sqrt{a}+1}}{{\sqrt{a}}}$0; x ≠ 1; x ≠ 4; x ≠ 9

A = $ \displaystyle \dfrac{{a^{2}-a\sqrt{a}+\sqrt{a}-1}}{{\sqrt{a}-a\sqrt{a}}}=\dfrac{{(a+1)(a-1)-\sqrt{a}(a-1)}}{{\sqrt{a}(1-a)}}=\dfrac{{(a-1)(a-\sqrt{a}+1)}}{{\sqrt{a}(1-a)}}=\dfrac{{-a+\sqrt{a}-1}}{{\sqrt{a}}}$

A = $ M=\dfrac{{a+1}}{{\sqrt{a}}}+2$

A = $ a>0;\,\,a\ne 1$

A = $ (\sqrt{a}-1)^{2}>0\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,a+1>2\sqrt{a}$= $ M>\dfrac{{2\sqrt{a}}}{{\sqrt{a}}}+2=4$ => ĐPCM

Thí dụ 5. (Trích đề thi HSG T.P Bắc Giang năm 2016-2017)

Cho a, b là số hữu tỉ thỏa mãn $ \left( {a^{2}+b^{2}-2} \right)\left( {a+b} \right)^{2}$+$ (1-ab)^{2}=-4ab$

Chứng minh $ \sqrt{{1+ab}}$ là số hữu tỉ

Lời giải.

Ta có:

$ \displaystyle \text{(GT)}\Rightarrow \left[ {{\left( {\text{a}+\text{b}} \right)}^{\text{2}}-\text{2(ab}+\text{1)}} \right]\text{(a}+\text{b)}^{\text{2}}+\left( {\text{1}+\text{ab}} \right)^{\text{2}}=0$

$ \displaystyle \Leftrightarrow \left( {\text{a}+\text{b}} \right)^{\text{4}}-\text{2(a}+\text{b}\text{)}^{\text{2}}\text{(1}+\text{ab)}+\text{(1}+\text{ab)}^{\text{2}}=\text{0}$

$ \displaystyle \Leftrightarrow \left[ {{\left( {\text{a}+\text{b}} \right)}^{\text{2}}-\text{(1}+\text{ab)}} \right]^{\text{2}}=\text{0}\Rightarrow \text{(a}+\text{b)}^{\text{2}}\text{-(1}+\text{ab)=0}$

$ \displaystyle \Leftrightarrow \text{(a}+\text{b)}^{\text{2}}=\text{1}+\text{ab}\Leftrightarrow \left| {\text{a}+\text{b}} \right|=\sqrt{{\text{1}+\text{ab}}}\in \text{Q}$ vì a, b ∈ Q.