Cách giải phương trình bậc 3 – Toán nâng cao lớp 9

Phương trình bậc 3 là phương trình có dạng: $ \displaystyle \text{a}\text{x}^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

Phương pháp giải

Thông thường chúng ta nhẩm một nghiệm hoặc dùng máy tính để có được một nghiệm của phương trình. Sau đó phân tích thành nhân tử và chuyển về giải phương trình bậc 2.

$ \displaystyle \text{a}\text{x}^{3}+bx^{2}+cx+d=0\Leftrightarrow \left( {x-x_{0}} \right)\left( {mx^{2}+nx+p} \right)=0$

Giải (*) theo $ \Delta $ khá đơn giản.

Ví dụ 1. Giải phương trình: $ x^{3}-x^{2}+3x-10=0$

Phân tích. Dùng máy tính hoặc nhẩm nghiệm dễ thấy x = 2 là nghiệm của phương trình.

Lời giải.

$ \begin{array}{l}x^{3}-x^{2}+3x-10=0\Leftrightarrow x^{3}-2x^{2}+x^{2}-2x+5x-10=0\\\Leftrightarrow x^{2}.\left( {x-2} \right)+x.\left( {x-2} \right)+5.\left( {x-2} \right)=0\Leftrightarrow \left( {x-2} \right)\left( {x^{2}+x+5} \right)=0\\\Leftrightarrow x=2\end{array}$

Do $ x^{2}+x+5>0\forall x$

Vậy phương trình có nghiệm x = 2.

Các dạng phương trình bậc 3

Phương trình bậc 3 đặc biệt chỉ có một nghiệm không đẹp thường giao trong các kì thi HSG THCS.

Phương trình bậc 3: $ \displaystyle \text{a}\text{x}^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

Phương pháp giải.

Tìm cách đưa về:
$ mx^{3}=\left( {nx\pm k} \right)^{3}\Leftrightarrow \sqrt[3]{m}.x=nx\pm k\Leftrightarrow x=\dfrac{{\pm k}}{{n-\sqrt[3]{m}}}.$

Ví dụ 1. (Đề thi HSG thành phố Thanh Hóa)

Giải phương trình:  x²(2x + 3) = 2(3x – 2)  (1)

Lời giải.

$ \begin{array}{l}\left( 1 \right)\Leftrightarrow 2x^{3}+3x^{2}-6x+4=0\Leftrightarrow 4x^{3}+6x^{2}-12x+8=0\\\Leftrightarrow 5x^{3}=x^{3}-6x^{2}+12x-8\Leftrightarrow \left( {\sqrt[3]{5}.x} \right)^{3}=\left( {x-2} \right)^{3}\\\Leftrightarrow \sqrt[3]{5}.x=x-2\\\Leftrightarrow x=\dfrac{{-2}}{{\sqrt[3]{5}-1}}\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là: $ x=\dfrac{{-2}}{{\sqrt[3]{5}-1}}$