Chuyên đề hàm số ôn HSG Toán 9 tập trung vào hàm số bậc nhất \(y=ax+b\) và parabol dạng \(y=ax^2\) ở mức mở rộng. Học sinh cần thành thạo xác định công thức hàm số, tìm giao điểm, xét tham số và liên hệ giữa phương trình với đồ thị.
1. Hàm số bậc nhất
Với \(y=ax+b\), \(a\ne0\):
- hàm số đồng biến khi \(a>0\);
- nghịch biến khi \(a<0\);
- đồ thị là đường thẳng cắt trục tung tại \((0;b)\).
2. Xác định đường thẳng qua hai điểm
Tìm hàm số \(y=ax+b\) đi qua \(A(1;3)\) và \(B(-1;-1)\).
Ta có:
\(a+b=3\), \(-a+b=-1\).
Trừ hai phương trình được \(2a=4\Rightarrow a=2\), suy ra \(b=1\).
Vậy đường thẳng cần tìm là \(y=2x+1\).
3. Giao điểm hai đường thẳng
Giao điểm của \(y=2x+1\) và \(y=-x+4\) được tìm bằng cách giải:
\(2x+1=-x+4\Rightarrow x=1\).
Suy ra \(y=3\), nên giao điểm là \((1;3)\).
4. Parabol \(y=ax^2\)
Nếu parabol \(y=ax^2\) đi qua \(A(2;8)\), ta có:
\(8=4a\Rightarrow a=2\).
Vậy parabol là \(y=2x^2\).
5. Giao điểm đường thẳng và parabol
Tìm giao điểm của \(y=x^2\) và \(y=2x+3\).
Hoành độ giao điểm thỏa mãn:
\(x^2=2x+3\Rightarrow x^2-2x-3=0\).
\((x-3)(x+1)=0\), nên \(x=3\) hoặc \(x=-1\).
Hai giao điểm là \((3;9)\) và \((-1;1)\).
6. Bài toán tham số thường gặp
Xét đường thẳng \(y=mx+1\) và parabol \(y=x^2\). Phương trình hoành độ giao điểm là:
\(x^2-mx-1=0\).
Ta có \(\Delta=m^2+4>0\) với mọi \(m\in\mathbb{R}\). Vì vậy đường thẳng luôn cắt parabol tại hai điểm phân biệt.
7. Nhóm dạng HSG nên luyện
- Tìm tham số để ba đường thẳng đồng quy.
- Tìm tham số để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm thỏa điều kiện về tổng, tích hoặc khoảng cách.
- Chứng minh một biểu thức liên quan đến tọa độ giao điểm không phụ thuộc tham số.
- Tìm tọa độ điểm cố định mà một họ đường thẳng luôn đi qua.
8. Bài tập tự luyện
- Tìm \(a,b\) để \(y=ax+b\) đi qua \((0;2)\) và \((2;6)\).
- Tìm giao điểm của \(y=x+1\) và \(y=x^2-1\).
- Tìm \(m\) để đường thẳng \(y=mx+2\) đi qua điểm \((3;8)\).
Đáp số: (1) \(a=2,b=2\); (2) \((-1;0)\), \((2;3)\); (3) \(m=2\).
Xem thêm Ôn HSG – Thi chuyên Toán THCS.
Tài liệu, hình ảnh và file gốc
Chuyên đề Hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai ôn thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 bao gồm lý thuyết và ví dụ có lời giải, một số câu trong đề thi HSG Toán 9.