Các bài tập phân thức nâng cao lớp 8 trong bài yêu cầu học sinh vận dụng linh hoạt phép biến đổi, rút gọn và điều kiện của biểu thức. Nên ghi rõ điều kiện xác định trước khi thực hiện các bước biến đổi dài.
BÀI TẬP NÂNG CAO LỚP 8 LIÊN QUAN TỚI PHÂN THỨC
Bài 1: Tính các tổng sau
a. $ \displaystyle A=\frac{x^{4}-(x-1)^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}-x^{2}}+\frac{x^{2}-\left(x^{2}-1\right)^{2}}{x^{2}(x+1)^{2}-1}+\frac{x^{2}(x-1)^{2}-1}{x^{4}-(x+1)^{2}}$
b. $ \displaystyle B=\frac{x}{x y+x+1}+\frac{y}{y z+y+1}+\frac{z}{x z+z+1}$ vói $x y z=1$
Bài 2: Cho $ \displaystyle\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$
Chứng minh rằng: $ \displaystyle\frac{1}{a^{1995}}+\frac{1}{b^{1993}}+\frac{1}{c^{1995}}=\frac{1}{a^{1995}+b^{1995}+c^{1995}}$
Bài 3: Cho phân thức: $ \displaystyle A=\frac{x^{2}+y^{2}-z^{2}}{2 x y}+\frac{y^{2}+z^{2}-z^{2}}{2 y z}+\frac{z^{2}+x^{2}-y^{2}}{2 x z}(\mathrm{xyz} \neq 0)$
a. Chứng minh rằng nếu $ \displaystyle\mathrm{A}=1$ thì trong ba số $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ có một số bằng tổng hai số kia và trong phân thức A có một phân thức bằng – 1 còn hai phân thức còn lại bằng 1 .
b. Nếu $ \displaystyle\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ là độ dài các đoạn thẳng và $\mathrm{A}>1$. Chứng minh $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ là độ dài các cạnh của một tam giác.
Bài 4: Chứng minh rằng nếu a, b, c khác nhau đôi một thì:
a. $ \displaystyle\frac{b-c}{(a-b)(a-c)}+\frac{c-a}{(b-c)(b-a)}+\frac{a-b}{(c-a)(c-b)}=\frac{2}{a-b}+\frac{2}{b-c}+\frac{2}{c-a}$
b. $ \displaystyle\frac{a}{(b-c)^{2}}+\frac{b}{(c-a)^{2}}+\frac{c}{(a-b)^{2}}=0$ nếu $\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0$
Bài 5: Chứng minh rằng nếu:
$ \displaystyle\mathrm{X}=\mathrm{by}+\mathrm{cz}, \mathrm{y}=\mathrm{ax}+\mathrm{cz}, \mathrm{z}=\mathrm{ax}+\mathrm{by}$ và $\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z} \neq 0$
Thì $ \displaystyle\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2$
Bài 6: Cho a, b, c và x, y, z là các số khác nhau và khác không chứng minh rằng
Nếu: $ \displaystyle\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0$ và $ \displaystyle\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ thì $ \displaystyle\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$