KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1) Bình phương của một tổng, hiệu
$ (A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}$
$ (A-B)^{2}=A^{2}-2AB+B^{2}$
2) Bình phương của một đa thức
$ \left( {a+b+c} \right)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$
3) Lập phương của một tổng ba số, tổng các lập phương của ba số
$ \begin{array}{l}\left( {a+b+c} \right)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3\left( {a+b} \right)\left( {b+c} \right)\left( {c+a} \right)\\a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=\left( {a+b+c} \right)\left( {a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca} \right)\end{array}$
4) Lũy thừa bậc bốn, bậc năm của một nhị thức
$ \begin{array}{l}\left( {a+b} \right)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}\\\left( {a+b} \right)^{5}=a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}\end{array}$
5) Với số nguyên dương n, ta có
$ a^{n}-b^{n}=\left( {a-b} \right)\left( {a^{{n-1}}+a^{{n-2}}b+a^{{n-3}}b^{2}+…+ab^{{n-2}}+b^{{n-1}}} \right)$
6) Với số lẻ n, ta có
$ a^{n}+b^{n}=\left( {a+b} \right)\left( {a^{{n-1}}-a^{{n-2}}b+a^{{n-3}}b^{2}-…-ab^{{n-2}}+b^{{n-1}}} \right)$
BÀI TẬP
Bài 1: Cho các số thực $ x;y$ thỏa mãn: $ x^{2}+y^{2}+1=xy-x-y$. Tính $ A_{1}=\dfrac{1}{{xy}}+2\left( {x+y} \right)$.
Hướng dẫn
Ta có $ x^{2}+y^{2}+1=xy-x-y$$ \Rightarrow x^{2}+2x+1+y^{2}+2y+1+x^{2}-2xy+y^{2}=0$
$ \Rightarrow \left( {x+1} \right)^{2}+\left( {y+1} \right)^{2}+\left( {x-y} \right)^{2}=0$$ \Rightarrow x=y=-1\Rightarrow A_{1}=-3$.
Bài 2: Cho các số thực $ x;y$ thỏa mãn: $ 4x^{2}+8y^{2}-8xy+4y+1=0$. Tính $ A_{2}=\dfrac{{1+x+y}}{{xy}}$.
Hướng dẫn
Ta có $ 4x^{2}+8y^{2}-8xy+4y+1=0$$ \Rightarrow 4\left( {x-y} \right)^{2}+\left( {2y+1} \right)^{2}=0$.
$ \Rightarrow x=y=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow A_{2}=0$.
Bài 3: Cho các số thực $ x;y$ thỏa mãn: $ x^{4}+2y^{2}-17x^{2}-2xy+90=6y$. Tính $ A_{3}=x+2y$.
Hướng dẫn
Ta có $ x^{4}+2y^{2}-17x^{2}-2xy+90=6y$$ \Rightarrow \left( {x^{2}-9} \right)^{2}+\left( {y-3} \right)^{2}+\left( {x-y} \right)^{2}=0$
$ \Rightarrow x=y=3\Rightarrow A_{3}=9$.
Bài 4: Cho các số thực $ x;y$ thỏa mãn: $ 3x^{2}+y^{2}+2xy-16x-4y+22=0$. Tính $ A_{4}=\dfrac{1}{{xy}}$.
Hướng dẫn
Ta có $ 3x^{2}+y^{2}+2xy-16x-4y+22=0\Rightarrow \left( {x+y-2} \right)^{2}+2\left( {x-3} \right)^{2}=0$.
$ \Rightarrow x=3;y=-1\Rightarrow A_{4}=-\dfrac{1}{3}$.
Bài 5: Cho các số thực $ x;y;z$ thỏa mãn: $ 4x^{2}+2y^{2}+z^{2}+14=2\left( {xz+xy+5x+4y} \right)$.
Tính $ A_{5}=x+y+z$.
Hướng dẫn
Ta có $ 4x^{2}+2y^{2}+z^{2}+14=2\left( {xz+xy+5x+4y} \right)$
$ \Rightarrow \left( {x-2} \right)^{2}+\left( {x-2y} \right)^{2}+\left( {y-1} \right)^{2}+\left( {x+y-3} \right)^{2}+\left( {x-z} \right)^{2}=0$
$ \Rightarrow x=z=2;y=1\Rightarrow A_{5}=5$.
*Download file Bài tập tương tự kèm đáp án bằng cách click vào nút Tải về dưới đây.