Mục lục
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Bất phương trình
a) Bất phương trình tương đương
* Hai bất phương trình gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Nếu f1(x) < g1(x) tương đương với f2(x) < g2(x) thì ta viết: $ f_{1}(x)<g_{1}(x)\Leftrightarrow f_{2}(x)<g_{2}(x)$
* Bất phương trình f(x) < g(x) tương đương với bất phương trình
– f(x) + h(x) < g(x) + h(x).
– f(x).h(x) < g(x).h(x) nếu h(x) > 0 $ \forall x\in D$
– f(x).h(x) > g(x).h(x) nếu h(x) < 0 $ \forall x\in D$
f(x) < g(x) $ \Leftrightarrow [f(x)]^{3}<[g(x)]^{3}$
f(x) < g(x) $ \Leftrightarrow [f(x)]^{2}<[g(x)]^{2}$ với f(x) > 0, g(x) > 0
b) Bất phương trình bậc nhất và bậc hai
* ax + b < 0 (1)
i) Nếu a > 0 thì (1) $ \Leftrightarrow x<-\dfrac{b}{a}$
ii) Nếu a < 0 thì (1) $ \Leftrightarrow x>-\dfrac{b}{a}$
iii) Nếu a = 0 thì (1) $ \Leftrightarrow 0x<-b$
. b ≥ 0 bất phương trình vô nghiệm.
. b < 0 bất phương trình nghiệm đúng với mọi x
* Cho nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b ( a ≠ 0). Ta có :
* Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0). Ta có:
Nếu $ \Delta <0$ thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi $ x \in R$.
Nếu $ \Delta $ = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi $ x \ne -\dfrac{b}{{2a}}$
Nếu $ \Delta >0$ thì f(x) có hai nghiệm x1, x2 ( x1 < x2 ) . Khi đó, f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x$ \in (x_{1}\ ,\ x_{2})$
(tức là x1 < x < x2) và f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x nằm ngoài đọan [x1 , x2 ] (tức là x < x1 hoặc x > x2)
* Để tìm điều kiện để tam thức bậc hai luôn âm hoặc luôn dương ta áp dụng:
$ \forall x\in R,\ ax^{2}+bx+c>0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a>0\\\Delta <0\end{array} \right.$
$ \forall x\in R,\ ax^{2}+bx+c<0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a<0\\\Delta <0\end{array} \right.$
* Để giải bất phương trình bậc hai ta áp dụng định lý về dấu tam thức bậc hai
B. BÀI TẬP
Bài 1: Giải bất phương trình :
$ \displaystyle {a/\dfrac{{3x-1}}{4}-\dfrac{{3(x-2)}}{8}-1>\dfrac{{5-3x}}{2}}$
$ \displaystyle {b/3-\dfrac{{4x-1}}{{18}}\ge \dfrac{{x-1}}{{12}}-\dfrac{{4-5x}}{9}}$
$ \displaystyle {c/\dfrac{{3x+1}}{2}-\dfrac{{x-2}}{3}<\dfrac{{1-2x}}{4}}$
$ \displaystyle {d/\dfrac{{x-3}}{4}+\dfrac{{1-2x}}{5}\le \dfrac{{x+1}}{3}}$
Bài 2: Giải hệ bất phương trình :
$ \displaystyle {a/\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {8x-5>\dfrac{{15x-8}}{2}} \\ {2(2x-3)>5x-\dfrac{3}{4}} \end{array}} \right.}$
$ \displaystyle {b/\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {6x+\dfrac{5}{7}>4x+7} \\ {\dfrac{{8x+3}}{2}\le 2x+25} \end{array}} \right.}$
$ \displaystyle {c/\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3x-5\le 0} \\ {2x+3\ge 0} \\ {x+1>0} \end{array}} \right.}$
$ \displaystyle {d/\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{2x-3}}{4}<\dfrac{{3x+1}}{5}} \\ {3x+\dfrac{5}{2}<8-\dfrac{x}{3}} \end{array}} \right.}$
$ \displaystyle {e/\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{4x-5}}{7}<x+3} \\ {\dfrac{{3x+8}}{4}\ge 2x-5} \end{array}} \right.}$
Bài 3: Giải và biện luận bất phương trình theo tham số m :
a/ m(x – m) ( x – 1 b/ mx + 6 > 2x + 3m c/ (m + 1)x + m < 3x + 4
Bài 4: Xét dấu biểu thức sau :
a/ f(x) = 2x – 5; f(x) = -11 – 4x; b/ f(x) = (2x + 1)(x – 5)
c/ f(x) = (3x – 1)(2 – x)(5 + x); d/ f(x) = $ \dfrac{{(-x){(x+3)}^{2}}}{{5x+10}}$
e/ f(x) = $ \dfrac{3}{{4-x}}+\dfrac{{-2}}{{3x+1}}$; f/ f(x) = $ \dfrac{{2x^{2}-3x}}{{1-x}}$
Bài 5: Giải bất phương trình :
$ \begin{array}{l}a/\,\dfrac{{3x-4}}{{x-2}}>1;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b/\,\dfrac{{2x-5}}{{2-x}}\ge -1;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\c/\,\dfrac{2}{{x-1}}\le \dfrac{5}{{2x-1}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,d/\,\dfrac{{-4}}{{3x+1}}<\dfrac{3}{{2x-1}}\end{array}$
Bài 6: Giải phương trình chứa trị tuyệt dối :
a/ $ \left| {x-1} \right|+\left| {2x-4} \right|=3$;
b/ $ \left| {7-2x} \right|=\left| {5-3x} \right|+\left| {x+2} \right|$
Bài 7: Xét dấu biểu thức sau :
$ a/\,f(x)=2x^{2}-5x-7;$
$ \,b/\,f(x)=-x^{2}+2x-1;$
$ c/\,f(x)=x^{2}+4x+5;$
$ d/\,f(x)=\dfrac{{(2x+3)\left( {4x-x^{2}} \right)}}{{x^{2}-6x+9}};\,$
$ \,e/\,f(x)=\dfrac{{x^{3}+x^{2}-6x}}{{9-x^{2}}};$
$ f/\,f(x)=\dfrac{{3x+7}}{{x^{2}-x-2}}+5;\,$
$ g/\,f(x)=\dfrac{{\left( {-2x^{2}+3x-1} \right)\left( {x^{3}-1} \right)}}{{x^{2}+x-6}}$
Bài 8: Giải các bất phương trình sau :
$ a/\,(1-x^{2})(x^{2}-5x+6)<0;\,$
$ b/\,\dfrac{{4x+1}}{{4(2-x)}}\le x+2;\,$
$ \,c/\,\dfrac{{4-x}}{{x-5}}\ge \dfrac{1}{{1-x}};$
$ d/\,3(1-x)>\dfrac{{7-8x}}{{1+x}};\,$
$ e/\,(x^{2}-16x+21)^{2}>36x^{2};$
$ f/\,\dfrac{{x^{2}-2x-3}}{{x^{2}-4x+3}}\ge \dfrac{1}{{1-x}};$
$ g/\,\dfrac{{x^{2}-4x+3}}{{3-2x}}<1-x;$
$ h/\,\dfrac{{x^{3}+x-x^{2}-1}}{{x+8}}\le 0;$
$ i/\,(2x-7)(3x^{2}-5x+2)\ge 0$
Bài 9: Giải các hệ sau :
$ a/\,\left\{ \begin{array}{l}2x^{2}-12x+18>0\\3x^{2}-20x-7<0\end{array} \right.;\,$
$ b/\,\left\{ \begin{array}{l}x^{3}-11x^{2}+10x\ge 0\\x^{3}-12x^{2}+32x\le 0\end{array} \right.;$
$ c/\,\left\{ \begin{array}{l}6+x-x^{2}\ge 0\\x^{2}-4x<0\end{array} \right.;$
$ d/\,\left\{ \begin{array}{l}(2x-1)(x^{2}-9)\ge 0\\x^{2}-x\le 20\end{array} \right.;$
$ e/\,\left\{ \begin{array}{l}6x^{2}+5x-56<0\\\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{{8-x}}>\dfrac{1}{{x+1}}\end{array} \right.;$
$ \,f/\,\left\{ \begin{array}{l}(x^{2}-8x)^{2}<(x+10)^{2}\\x^{2}+4x+3<0\end{array} \right.$
Bài 10: Định m để ∀ x ∈ R, ta có :
a/ x2 – (3m – 2)x + 2m2 – 5m – 2 > 0 b/ (m + 1)x2 – 8x + m + 1 ( 0
c/ (m – 2)x2 + 2(2m – 3)x + 5m – 6 ( 0 d/ m(m + 2)x2 + 2mx + 3 < 0
Bài 11: Tìm m để bất phương trình sau vô nghiệm :
a/ 3×2 + 2(2m – 1)x + m + 4 ( 0 b/ (3 – m)x2 – 2(m + 3)x + m + 2 > 0
Bài 12: Giải bất phương trình :
$ a/\,\left| {x^{2}-1} \right|-2x<0;\,$
$ a/\,\left| {x^{2}-1} \right|-2x<0;\,$
$ c/\,\left| {5-4x} \right|>2x-1;$
$ d/4-x+\left| {3x^{2}-6x} \right|<2x-6;$
$ e/\left| {\dfrac{{x^{2}-4x}}{{x^{2}+3x+2}}} \right|\ge 1$
Bài 13: Giải bất phương trình :
$ a/\,\sqrt{{x+18}}<2-x;\,$
$ b/\,x\ge \sqrt{{24-5x}};$
$ c/\,1-\sqrt{{13-3x^{2}}}>2x;$
$ d/\sqrt{{5-x^{2}}}>x-2;\,$
$ \,e/\,\sqrt{{x^{2}-3x+2}}\ge \sqrt{{2x-4}}\,$
$ \,f/\,\sqrt{{-2-3x-x^{2}}}<\sqrt{{x+1}}$
Bài 14: Giải bất phương trình:
a/ (x2 + x + 1)(x2 + x + 3) $ \ge 15$
b/ (x + 4)(x + 1) – $ 3\sqrt{{x^{2}+5x+2}}<6$
c/$ x^{2}-4x-6\ge \sqrt{{2x^{2}-8x+12}}$
d/ $ (x-3)\sqrt{{x^{2}+4}}\le x^{2}-9$