Hướng dẫn học sinh cách tìm m để bất phương trình vô nghiệm. Trong đó có 2 dạng bất phương trình bậc nhất và bất phương trình bậc hai.
Với mỗi dạng bất phương trình thì cách tìm m để bất PT vô nghiệm khác nhau.
1. Tìm m để các bất phương trình bậc nhất dạng $a x+b>0, a x+b<0, a x+b \geq 0$ hoặc $a x+b \leq 0$ vô nghiệm.
Xét bất phương trình $a x+b>0$ (1).
+ Nếu $a>0$ thì bất phương trình luôn có nghiệm $x>-\frac{b}{a}$.
+ Nếu $a<0$ thì bất phương trình luôn có nghiệm $x<-\frac{b}{a}$.
+ Nếu $a=0$ và $b>0$ thì bất phương trình (1) luôn đúng với mọi $x$.
+ Nếu $a=0$ và $b \leq 0$ thì $V T(1) \leq 0, V P(1)=0$ nên bất phương trình vô nghiệm.
Từ những nhận xét trên ta có phương pháp tìm m để bất phương trình bậc nhất vô nghiệm như sau :
* Phương pháp:
+ Nếu $a \neq 0$ thì các bất phương trình trên là bất phương trình bậc nhất nên chúng luôn có nghiệm.
+ Nếu $a=0$ thì :
– Bất phương trình $a x+b>0$ vô nghiệm khi $b \leq 0$.
– Bất phương trình $a x+b<0$ vô nghiệm khi $b \geq 0$.
– Bất phương trình $a x+b \geq 0$ vô nghiệm khi $b<0$.
– Bất phương trình $a x+b \leq 0$ vô nghiệm khi $b>0$.
* Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1. Tìm $m$ để bất phương trình $\left(m^2-1\right) x+2 m-1>0$ vô nghiệm.
A. $m=1$.
B. $m=-1$.
C. $m=\pm 1$.
D. $m \neq \pm 1$.
Lời giải :
Ta có $a=m^2-1, b=2 m-1$. Bất phương trình vô nghiệm khi
$\left\{\begin{array}{l}a=m^2-1=0 \\ 2 m-1 \leq 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m=\pm 1 \\ m \leq \frac{1}{2}\end{array} \Leftrightarrow m=-1\right.\right.$. Chọn B.
Ví dụ 2. Tìm $m$ để bất phương trình $m^2 x-2 m \leq(3 m-2) x+2$ vô nghiệm.
A. $m=1$
B. $m=2$.
C. $m=1$ hoặc $m=2$.
D. Không có $m$.
Lời giải :
Ta có : $m^2 x-2 m \leq(3 m-2) x-3 \Leftrightarrow m^2 x-(3 m-2) x-2 m+3 \leq 0$
$\Leftrightarrow\left(m^2-3 m+2\right) x+3-2 m \leq 0 \Rightarrow a=m^2-3 m+2, b=3-2 m$.
Bất phương trình vô nghiệm khi $\left\{\begin{array}{l}a=m^2-3 m+2=0 \\ b=3-2 m>0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m=1 \text { hoặc } m=2 \\ m<\frac{3}{2}\end{array} \Leftrightarrow m=1\right.\right.$. Chọn A.
2. Tìm m để bất phương trình dạng bậc hai vô nghiệm
Xét bất phương trình $a x^2+b x+c>0, a \neq 0 \quad(*)$ :
Khi đó bất phương trình vô nghiệm khi $a x^2+b x+c \leq 0, \forall x \in \mathbb{R}$.
Mặt khác theo định lý về dấu của tam thức bậc hai thì $a x^2+b x+c \leq 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a<0 \\ \Delta \leq 0\end{array}\right.$.
Từ đây ta có thể rút ra phương pháp để bất phương trình bậc hai vô nghiệm như sau:
Phương pháp :
– $a x^2+b x+c>0$ vô nghiệm khi $a x^2+b x+c \leq 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a<0 \\ \Delta \leq 0\end{array}\right.$.
– $a x^2+b x+c<0$ vô nghiệm khi $a x^2+b x+c \geq 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a>0 \\ \Delta \leq 0\end{array}\right.$.
– $a x^2+b x+c \geq 0$ vô nghiệm khi $a x^2+b x+c<0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a<0 \\ \Delta<0\end{array}\right.$.
– $a x^2+b x+c \leq 0$ vô nghiệm khi $a x^2+b x+c>0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a>0 \\ \Delta<0\end{array}\right.$.
* Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1. Tìm $m$ để bất phương trình $x^2-2 m x+4 m-3 \leq 0$ vô nghiệm.
$\begin{array}{lll}\text { A. } m \in(1 ;+\infty) . & \text { B. } m \in(-\infty ; 1) \cup(3 ;+\infty) . & \text { C. } m \in[1 ; 3] .\end{array} \quad$ D. $m \in(1 ; 3)$.
Lời giải :
Bất phương trình đã cho vô nghiệm khi
$x^2-2 m x+4 m-3>0, \forall x \in \mathbb{R} $
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=1>0 \text { (luôn đúng) } \\ \Delta^{\prime}=m^2-1(4 m-3)<0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow m^2-4 m+3<0$ $\Leftrightarrow 1<m<3$
$\Leftrightarrow 1<m<3$.
Ví dụ 2. Tìm $m$ để bất phương trình $(m-1) x^2-2(m-2) x+3 m-4 \geq 0$ vô nghiệm.
A. $m \in(0 ; 1) . \quad$
B. $m \in(1 ;+\infty) . \quad$
C. $m \in(-\infty ; 0) . \quad$
D. $m \in(-\infty ; 1)$.
Lời giải :
Vì hệ số của $x^2$ còn phụ thuộc $m$ nên ta xét hai trường hợp sau :
+ Trường hợp 1: $m-1=0 \Leftrightarrow m=1$ bất phương trình đã cho trở thành $2 x-1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \frac{1}{2}$.
Vậy bất phương trình có nghiệm $x \geq \frac{1}{2}$. Do đó $m=1$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Trường hợp $2: m-1 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq 1$. Bất phương trình đã cho vô nghiệm khi $(m-1) x^2-2(m-2) x+3 m-4<0, \forall x \in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=m-1<0 \\ \Delta^{\prime}=(m-2)^2-(m-1)(3 m-4)<0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m<1 \\ m^2-4 m+4-3 m^2+4 m+3 m-4<0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m<1 \\ -3 m^2+3 m<0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m<1 \\ m \in(-\infty ; 0) \cup(1 ;+\infty)\end{array} \Leftrightarrow m \in(-\infty ; 0)\right.$. Chọn C.