A. LÝ THUYẾT
1. Với A ≥ 0, B ≥ 0 thì:
Khai phương một tích
$ \sqrt{A.B}=\sqrt{A}.\sqrt{B}$
Nhân các căn thức bậc hai
2. Với A ≥ 0, B > 0 thì:
Khai phương một thương
$ \sqrt{\dfrac{A}{B}}=\dfrac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$
3. Với A1, A2, …, An ≥ 0 thì: $ \sqrt{{{A}_{1}}.{{A}_{2}}…{{A}_{n}}}=\sqrt{{{A}_{1}}}.\sqrt{{{A}_{2}}}…\sqrt{{{A}_{n}}}$
4. Với a ≥ 0; b ≥ 0 thì: $ \sqrt{a+b}\le \sqrt{a}+\sqrt{b}$ (dấu “=” xảy ra ⇔ a = 0 hoặc b = 0)
5. Với a ≥ 0; b ≥ 0 thì: $ \sqrt{a-b}\ge \sqrt{a}-\sqrt{b}$ (dấu “=” xảy ra ⇔ a = b hoặc b = 0)
6. Công thức “căn phức tạp”
$ \sqrt{A\pm B}=\sqrt{\dfrac{A+\sqrt{{{A}^{2}}-B}}{2}}\pm \sqrt{\dfrac{A-\sqrt{{{A}^{2}}-B}}{2}}$
Trong đó A > 0; B > 0 và A2 > B.
7. Bất đẳng thức Cô-si (còn gọi là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân)
Với a ≥ 0, b ≥ 0 thì: $ \dfrac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$ (dấu “=” xảy ra ⇔ a = b).
Vài dạng khác của bất đẳng thức Cô-si:
• Dạng có chứa dấu căn:
$ a+b\ge 2\sqrt{ab}$ với a ≥ 0; b ≥ 0;
$ \dfrac{1}{\sqrt{ab}}\ge \dfrac{2}{a+b}$ với a > 0; b > 0.
• Dạng không có chứa dấu căn:
$ \dfrac{{{(a+b)}^{2}}}{2}\ge ab$; $ {{(a+b)}^{2}}\ge 4ab$; $ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 2ab$;
8. Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki (đối với hai bộ số)
• Mỗi bộ có hai số $ \left( {a_{1}\text{ };\text{ }a_{2}} \right)$ và $ \left( {b_{1}\text{ };\text{ }b_{2}} \right)$
$ {{({{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}})}^{2}}\le (a_{1}^{2}+a_{2}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2})$;
• Mỗi bộ có ba số $ \left( {a_{1}\text{ };\text{ }a_{2}\text{ };\text{ }a_{3}} \right)$ và $ \left( {b_{1}\text{ };\text{ }b_{2}\text{ };\text{ }b_{3}} \right)$
$ {{({{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+{{a}_{3}}{{b}_{3}})}^{2}}\le (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2})$;
• Mỗi bộ có n số $ \left( {a_{1}\text{ };\text{ }a_{2}\text{ };\text{ }….\text{ };\text{ }a_{n}} \right)$ và $ \left( {b_{1}\text{ };\text{ }b_{2}\text{ };\text{ }….\text{ };\text{ }b_{n}} \right)$
$ {{({{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+…+{{a}_{n}}{{b}_{n}})}^{2}}\le (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+…+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+…+b_{n}^{2})$;
(dấu “=” xảy ra ⇔ $ \dfrac{{{a}_{1}}}{{{b}_{1}}}=\dfrac{{{a}_{2}}}{{{b}_{2}}}=…=\dfrac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}$ với quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử bằng 0)
B. Bài
DẠNG 1: Thực hiện phép tính
Bài 1: Tính:
a) A = $ \sqrt{3+\sqrt{5+2\sqrt{3}}}.\sqrt{3-\sqrt{5+2\sqrt{3}}}$;
b) B = $ \sqrt{4+\sqrt{8}}.\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}.\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}$.
Bài 2: Thực hiện phép tính:
a) $ (\sqrt{12}+3\sqrt{15}-4\sqrt{135}).\sqrt{3}$;
b) $ \sqrt{252}-\sqrt{700}+\sqrt{1008}-\sqrt{448}$;
c) $ 2\sqrt{40\sqrt{12}}-2\sqrt{\sqrt{75}}-3\sqrt{5\sqrt{48}}$.
Bài 3: Thực hiện phép tính:
a) $ (\sqrt{12}+\sqrt{75}+\sqrt{27}):\sqrt{15}$;
b) $ (12\sqrt{50}-8\sqrt{200}+7\sqrt{450}):\sqrt{10}$;
c) $ \left( \dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{7}}-\sqrt{\dfrac{16}{7}}+\sqrt{\dfrac{9}{7}} \right):\sqrt{7}$.
Bài 4: Cho a = $ \sqrt{\dfrac{3}{5}}+\sqrt{\dfrac{5}{3}}$. Tính giá trị của biểu thức: $M = \sqrt{15{{a}^{2}}-8a\sqrt{15}+16}$.
Bài 5: Tính:
a) $ \dfrac{\sqrt{99999}}{\sqrt{11111}}$;
b) $ \dfrac{\sqrt{{{84}^{2}}-{{37}^{2}}}}{\sqrt{47}}$;
c) $ \sqrt{\dfrac{5({{38}^{2}}-{{17}^{2}})}{8({{47}^{2}}-{{19}^{2}})}}$;
d) $ \sqrt{\dfrac{0,2\,\,.\,\,1,21\,\,.\,\,0,3}{7,5\,\,.\,\,3,2\,\,.\,\,0,64}}$.
Bài 6: Biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng tích rồi tính:
a) $ \sqrt{{{27}^{2}}-{{23}^{2}}}$;
b) $ \sqrt{{{37}^{2}}-{{35}^{2}}}$;
c) $ \sqrt{{{65}^{2}}-{{63}^{2}}}$;
d) $ \sqrt{{{117}^{2}}-{{108}^{2}}}$.
Bài 7: Cho hai số có tổng bằng $ \sqrt{19}$ và có hiệu bằng $ \sqrt{7}$. Tính tích của hai số đó.
Bài 8: Tính $ \sqrt{A}$ biết:
a) A = $ 13-2\sqrt{42}$; b) A = $ 46+6\sqrt{5}$;
c) A = $ 12-3\sqrt{15}$.
Bài 9: Tính:
a) $ \sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}-\sqrt{2}$; b) $ \sqrt{4-\sqrt{7}}-\sqrt{4+\sqrt{7}}+\sqrt{7}$;
c) $ \sqrt{6,5+\sqrt{12}}+\sqrt{6,5-\sqrt{12}}+2\sqrt{6}$.
Bài 10: Thực hiện các phép tính:
a) $ (4+\sqrt{15})(\sqrt{10}-\sqrt{6})\sqrt{4-\sqrt{15}}$;
b) $ \sqrt{3-\sqrt{5}}(\sqrt{10}-\sqrt{2})(3+\sqrt{5})$;
c) $ \dfrac{\sqrt{\sqrt{5}+2}+\sqrt{\sqrt{5}-2}}{\sqrt{\sqrt{5}+1}}-\sqrt{3-2\sqrt{2}}$.
Bài 11: Biết x = $ (\sqrt{10}-\sqrt{6}).\sqrt{4+\sqrt{15}}$.
Tính giá trị của biểu thức: M = $ \dfrac{\sqrt{4x+4+\dfrac{1}{x}}}{\sqrt{x}\left| 2{{x}^{2}}-x-1 \right|}$
Bài 12: Tính:
a) Q = $ (3-\sqrt{5})\sqrt{3+\sqrt{5}}+(3+\sqrt{5})\sqrt{3-\sqrt{5}}$;
b) R = $ \sqrt{2+\sqrt{3}}.\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}.\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}.\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}$.
Bài 13: So sánh:
a) $ 3+\sqrt{5}$ và $ 2\sqrt{2}+\sqrt{6}$;
b) $ 2\sqrt{3}+4$ và $ 3\sqrt{2}+\sqrt{10}$;
c) 18 và $ \sqrt{15}.\sqrt{17}$.
Bài 14*: a) Nêu một cách tính nhẩm 9972;
b) Tính tổng các chữ số của A, biết rằng $ \sqrt{A}$ = 99…96 (có 100 chữ số 9).
DẠNG 2: Rút gọn biểu thức
Bài 15: Rút gọn biểu thức M = $ \sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}$.
Bài 16: Rút gọn biểu thức:
a) $ \sqrt{11-2\sqrt{10}}$;
b) $ \sqrt{9-2\sqrt{14}}$;
c) $ \sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{4-2\sqrt{3}}$;
d) $ \sqrt{9-4\sqrt{5}}-\sqrt{9+4\sqrt{5}}$;
e) $ \sqrt{4-\sqrt{7}}-\sqrt{4+\sqrt{7}}$;
f) $ \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{11+6\sqrt{2}}-\sqrt{5+2\sqrt{6}}}{\sqrt{2}+\sqrt{6+2\sqrt{5}}-\sqrt{7+2\sqrt{10}}}$;
g) $ \sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-10\sqrt{7+4\sqrt{3}}}}$;
h) $ \sqrt{4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}$;
i) $ \sqrt{94-42\sqrt{5}}-\sqrt{94+42\sqrt{5}}$.
Bài 17: Rút gọn các biểu thức:
a) A = $ \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{14}}{2\sqrt{3}+\sqrt{28}}$;
b) B = $ \dfrac{9\sqrt{5}+3\sqrt{27}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$;
c) C = $ \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{8}+4}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}$;
d) D = $ \dfrac{3\sqrt{8}-2\sqrt{12}+\sqrt{20}}{3\sqrt{18}-2\sqrt{27}+\sqrt{45}}$.
Bài 18: Rút gọn biểu thức: M = $ \dfrac{\sqrt{\sqrt{7}-\sqrt{3}}-\sqrt{\sqrt{7}+\sqrt{3}}}{\sqrt{\sqrt{7}-2}}$.
Bài 19: Rút gọn các biểu thức:
a) A = $ \sqrt{6+2\sqrt{2}.\sqrt{3-\sqrt{4+2\sqrt{3}}}}$;
b) B = $ \sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}$;
c) C = $ \sqrt{3-\sqrt{5}}.(\sqrt{10}-\sqrt{2})(3+\sqrt{5})$.
Bài 20: Rút gọn biểu thức: A = $ \sqrt{x+\sqrt{2x-1}}-\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}$.
Bài 21: Rút gọn biểu thức: P = $ \sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}$.
Bài 22: Rút gọn biểu thức: A = $ \sqrt{x+2\sqrt{2x-4}}+\sqrt{x-2\sqrt{2x-4}}$.
Bài 23: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:
a) A = $ \sqrt{\dfrac{{{(x-6)}^{4}}}{{{(5-x)}^{2}}}}-\dfrac{{{x}^{2}}-36}{x-5}$ (x < 5), tại x = 4;
b) B = $ 5x-\sqrt{125}+\dfrac{\sqrt{{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}}}{\sqrt{x+5}}$ (x ≥ 0), tại x = $ \sqrt{5}$.
Bài 24: Rút gọn biểu thức:
a) A = $ \dfrac{2}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}.\sqrt{\dfrac{3{{x}^{2}}+6xy+3{{y}^{2}}}{4}}$;
b) B = $ \dfrac{1}{2a-1}.\sqrt{5{{a}^{4}}(1-4a+4{{a}^{2}})}$.
Bài 25: Cho a > 0, hãy so sánh $ \sqrt{a+1}+\sqrt{a+3}$ với $ 2\sqrt{a+2}$.
Bài 26: Rút gọn biểu thức:
M = $ \dfrac{\sqrt{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}\left[ \sqrt{{{(1+x)}^{3}}}-\sqrt{{{(1-x)}^{3}}} \right]}{2+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}$.
Bài 27: Cho biểu thức: A = $ \sqrt{\dfrac{{{({{x}^{2}}-3)}^{2}}+12{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}}}+\sqrt{{{(x+2)}^{2}}-8x}$.
a) Rút gọn A;
b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của A là một số nguyên.
Bài 28: Cho biểu thức: A = $ \dfrac{x+\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}{x-\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}-\dfrac{x-\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}{x+\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}$.
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A;
b) Rút gọn biểu thức A;
c) Tìm giá trị của x để A < 2.
Bài 29: Lập một phương trình bậc hai với các hệ số nguyên, trong đó:
a) $ 2+\sqrt{3}$ là một nghiệm của phương trình;
b) $ 6-4\sqrt{2}$ là một nghiệm của phương trình.
Bài 30*: a) Rút gọn biểu thức A = $ \sqrt{1+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{(a+1)}^{2}}}}$ với a > 0;
b) Tính giá trị của tổng:
B = $ \sqrt{1+\dfrac{1}{{{1}^{2}}}+\dfrac{1}{{{2}^{2}}}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{{{2}^{2}}}+\dfrac{1}{{{3}^{2}}}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{{{3}^{2}}}+\dfrac{1}{{{4}^{2}}}}+…+\sqrt{1+\dfrac{1}{{{99}^{2}}}+\dfrac{1}{{{100}^{2}}}}$.
DẠNG 3: Giải phương trình
Bài 31: Giải phương trình:
a) $ \sqrt{5{{x}^{2}}}=2x+1$;
b) $ \dfrac{\sqrt{2x-3}}{\sqrt{x-1}}=2$.
Bài 32: Giải phương trình:
a) $ 1+\sqrt{3x+1}=3x$;
b) $ \sqrt{2+\sqrt{3x-5}}=\sqrt{x+1}$;
c) $ \sqrt{\dfrac{5x+7}{x+3}}=4$;
d) $ \dfrac{\sqrt{5x+7}}{\sqrt{x+3}}=4$.
Bài 33: Tìm x và y biết rằng x + y + 12 = $ 4\sqrt{x}+6\sqrt{y-1}$.
Bài 34: Tìm x, y, z biết: $ \sqrt{x-a}+\sqrt{y-b}+\sqrt{z-c}=\dfrac{1}{2}\left( x+y+z \right)$ trong đó a+b+c = 3.
Bài 35: Giải phương trình: $ \sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8+6\sqrt{x-1}}=5$.
Bài 36: Giải phương trình: $ \sqrt{{{x}^{2}}-5x+6}+\sqrt{x+1}=\sqrt{x-2}+\sqrt{{{x}^{2}}-2x-3}$.
DẠNG 4: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
Bài 37: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = $ \sqrt{x-5}+\sqrt{13-x}$.
Bài 38: a) Tìm GTLN của biểu thức A = $ \sqrt{x+1}-\sqrt{x-8}$;
b) Tìm GTNN của biểu thức B = $ \sqrt{x-3}+\sqrt{5-x}$.
Bài 39: Cho biểu thức: M = $ \dfrac{{{x}^{2}}-\sqrt{2}}{{{x}^{4}}+(\sqrt{3}-\sqrt{2}){{x}^{2}}-\sqrt{6}}$
Rút gọn rồi tìm giá trị của x để M có giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.
DẠNG 5: Chứng minh biểu thức
Bài 40: Có tồn tại các số hữu tỉ dương a, b hay không nếu:
a) $ \sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{2}$;
b) $ \sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{\sqrt{2}}$.
Bài 41: Cho ba số x, y, $ \sqrt{x}+\sqrt{y}$ là các số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số $ \sqrt{x}$, $ \sqrt{y}$ đều là số hữu tỉ.
Bài 42: Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh rằng tồn tại một số dương trong hai số $ 2a+b-2\sqrt{cd}$ và $ 2c+d-2\sqrt{ab}$.
Bài 43: a) Chứng minh rằng với a > 0 thì, b > 0 thì $ \sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}$;
b) So sánh $ \sqrt{2017+2018}$ với $ \sqrt{2017}+\sqrt{2018}$.
Bài 44: Cho a, b, x, y > 0. Chứng minh rằng $ \sqrt{ax}+\sqrt{by}\le \sqrt{(a+b)(x+y)}$.
Bài 45: Cho a, b, c là các số thực không âm.
Chứng minh: $ a+b+c\ge \sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}$.
Bài 46: Chứng minh bất đẳng thức: $ \sqrt{n+a}+\sqrt{n-a}<2\sqrt{n}$ với 0 < |a| ≤ n.
Áp dụng (không dùng máy tính hoặc bảng số): chứng minh rằng: $ \sqrt{101}-\sqrt{99}>0,1$.
Bài 47: Cho A, B . Chứng minh rằng số 99999 + $ 11111\sqrt{3}$ không thể biểu diễn dưới dạng $ {{(A+B\sqrt{3})}^{2}}$.
Bài 48: Cho A = $ a\sqrt{a}+\sqrt{ab}$ và B = $ b\sqrt{b}+\sqrt{ab}$ với a > 0, b > 0.
Chứng minh rằng nếu và đều là các số hữu tỉ thì A + B và A.B cũng là các số hữu tỉ.
Bài 49: Chứng minh các hằng đẳng thức sau với b ≥ 0, a ≥ $ \sqrt{b}$:
a) $ \sqrt{a+\sqrt{b}}\pm \sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{2(a\pm \sqrt{{{a}^{2}}-b})}$;
b) $ \sqrt{a\pm \sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{{{a}^{2}}-b}}{2}}\pm \sqrt{\dfrac{a-\sqrt{{{a}^{2}}-b}}{2}}$.
Bài 50: Chứng minh rằng: $ 2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})<\dfrac{1}{\sqrt{n}}<2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})$ với n ∈ $ {{\mathbb{N}}^{*}}$.
Áp dụng: cho S = $ 1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+…+\dfrac{1}{\sqrt{100}}$. Chứng minh rằng 18 < S < 19.
Bài 51: Chứng minh rằng: $ \dfrac{1}{2\sqrt{n+1}}<\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ với n ∈ $ \mathbb{N}$.
Áp dụng chứng minh rằng: $ 1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+…+\dfrac{1}{\sqrt{2500}}<100$.
Bài 52: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + xz = 1. Tính tổng:
S = $ x\sqrt{\dfrac{(1+{{y}^{2}})(1+{{z}^{2}})}{1+{{x}^{2}}}}+y\sqrt{\dfrac{(1+{{x}^{2}})(1+{{z}^{2}})}{1+{{y}^{2}}}}+z\sqrt{\dfrac{(1+{{x}^{2}})(1+{{y}^{2}})}{1+{{z}^{2}}}}$.
Bài 53: Cho a, b, c là ba số hữu tỉ đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:
A = $ \sqrt{\dfrac{1}{{{(a-b)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{(b-c)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{(c-a)}^{2}}}}$ là số hữu tỉ.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si. Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki.
Bài 54: Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng x + y + z ≥ $ \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}$.
Bài 55: Cho A = $ \sqrt{x+3}+\sqrt{5-x}$. Chứng minh rằng A ≤ 4.
Bài 56: Cho B = $ \dfrac{{{x}^{3}}}{1+y}+\dfrac{{{y}^{3}}}{1+x}$ trong đó x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện xy = 1. Chứng minh rằng B ≥ 1.
Bài 57: Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn điều kiện $ \dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}=2$.
Chứng minh rằng xyz ≤ $ \dfrac{1}{8}$.
Bài 58: Tìm các số dương x, y, z sao cho x + y + z = 3 và x4 + y4 + z4 = 3xyz.
Bài 59: Cho $ \sqrt{x}+2\sqrt{y}=10$. Chứng minh rằng x + y ≥ 20.
Bài 60: Cho ba số không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1. Chứng minh rằng: $A = \displaystyle \sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\le \sqrt{6}$.