PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng Định lí 1.
Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.
BÀI TẬP MINH HỌA
1A. Cho hai điểm A, B nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng MN, Chứng minh $ \displaystyle \Delta $MAB = $ \displaystyle \Delta $NAB.
1B. Cho $ \displaystyle \Delta $ABC cân tại B. Lấy điểm D đối xứng với điểm B qua AC. Chứng minh $ \displaystyle \Delta $ABD = CBD.
2A. Tam giác ABC vuông tại A có $ \displaystyle \widehat{C}$ = 30°. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC. Tính số đo góc $ \displaystyle \widehat{{BDA}}$.
2B. Tam giác ABC có điểm A thuộc đường trung trực của BC.
Biết $ \displaystyle \widehat{B}$ = 40°. Tính số đo của các góc trong $ \displaystyle \Delta $ABC
3A. Tam giác DEF có DE < DF. Gọi d là đường trung trực của EF. M là giao điểm của d với DF.
a) Chứng minh DM + ME =
b) Lấy bất kì điểm P nằm trên đường thẳng d (P $ \displaystyle \ne $M). Chứng minh DP + PE > DF.
c) So sánh chu vi của hai tam giác DEM và DEP.
3B. Tam giác ABC có $ \displaystyle \widehat{B}-\widehat{C}$= 30°. Đường trung trực của BC cắt AC ở K.
a) Chứng minh $ \displaystyle \widehat{{KBC\text{ }}}=\widehat{{\text{ }KCB}}$.
b) Tính số đo góc $ \displaystyle \widehat{{ABK\text{ }}}$
c) Biết AB = 3 cm, AC = 5 cm. Tính chu vi tam giác ABK.
4A. Cho tam giác ABC. Các đường trung trực của AB và AC cắt BC tại M và N.
a) Biết =$ \displaystyle \widehat{B}$ 30°, $ \displaystyle \widehat{C}$ = 45°. Tính số đo góc $ \displaystyle \widehat{{BAC}}$ và $ \displaystyle \widehat{{MAN}}$.
b) Chứng minh $ \displaystyle \widehat{{MAN}}$ = 2$ \displaystyle \widehat{{BAC}}$- 180°.
4B. Cho tam giác ABC cân có $ \displaystyle \widehat{A}$ > 90°. Các đường trung trực của AB và AC cắt cạnh BC theo thứ tự ở D và E và hai trung trực cắt nhau ở F.
a) Biết $ \displaystyle \widehat{A}$ = 110°. Tính số đo góc $ \displaystyle \widehat{{DAE}}$.
b) Chứng minh 2$ \displaystyle \widehat{{BAC}}$ = $ \displaystyle \widehat{{DAE}}$ +180°.
c) Tính góc $ \displaystyle \widehat{{DFE}}$.
5A. Cho góc vuông $ \displaystyle \widehat{{xOy}}$. Trên các tia Ox, Oy lấy hai điểm A và B (không trùng với O). Đường trưng trực của các đoạn thẳng OA và OB cắt nhau ở M. Chứng minh:
a) A, M, B thẳng hàng.
b) M là trung điểm của AB.
5B. Cho $ \displaystyle \Delta $ABC vuông tại A. Đường trung trực của đoạn thẳng AC cắt AC tại H, cắt BC tại D. Nối A và D.
a) So sánh số đo góc $ \displaystyle \widehat{{DAB}}$ và $ \displaystyle \widehat{{DBA}}$.
b) Chứng minh D là trung điểm của BC
HƯỚNG DẪN GIẢI
1A. Do A, B nằm trên đường trung trực
của đoạn thẳng MN nên
AM = AN, BM = BN.
Suy ra $ \displaystyle \Delta $MAB = $ \displaystyle \Delta $NAB (c.c.c).
1B. Tương tự 1A.
2A. AB là đường trung trực của AC
=> BD = BC => $ \displaystyle \Delta $DBC cân tại B
=> $ \displaystyle \widehat{{BDA}}=\widehat{C}=30{}^\circ $$ \displaystyle \Delta $
2B. Tương tự 2A
Tính được: $ \displaystyle \widehat{{ACB}}=40{}^\circ ;\widehat{{BAC}}=100{}^\circ $
3A. Do DE < DF nên M thuộc cạnh DF.
a) Có M thuộc đường trung trực của EF nên ME = MF=> DM + ME = DM + MF = DF.
b) Vì P thuộc đường trung trực của
EF nên PE = PF =>DP + PE = DP + PF.
Xét $ \displaystyle \Delta $DEF: DP + PF > DF.
Vậy DE + PE > DF.
c) Từ ý a) và ý b) suy ra DP + PE > DM + ME.
Vậy chu vi tam giác DEP lớn hơn chu vi tam giác DEM.
3B. Do $ \displaystyle \widehat{B}>\widehat{C}$ nên AC > AB và K thuộc cạnh AC.
a) K thuộc đường trung trực của BC => KB = KC
=> $ \displaystyle \Delta $BKC cân tại K =>$ \displaystyle \widehat{{KBC}}=\widehat{{KCB}}$
b) Ta có:
$ \displaystyle \widehat{{ABK}}=\widehat{{ABC}}-\widehat{{KBC}}=\widehat{{ABC}}-\widehat{C}=30{}^\circ $
c) Ta có:
AK + BK = AK + KC = AC = 5cm.
=> AB + AK + BK= 3 + 5 = 8 cm.
Vậy chu vi tam giác ABK là 8 cm
4A. a) Từ giả thiết suy ra AB > AC và M nằm giữa B và N.
Ta có MA = MB, NA = NC.
$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\widehat{B}=\widehat{{A_{1}}}=30{}^\circ \\\widehat{C}=\widehat{{A_{2}}}=45{}^\circ \end{array} \right.$ . Nên AN$ \displaystyle \bot $ BC
Xét $ \displaystyle \Delta $ABC: $ \displaystyle \widehat{A}$ = 105°.
Vậy $ \displaystyle \widehat{{MAN}}=90{}^\circ -\widehat{{ABN}}+\widehat{{BAM}}=30{}^\circ $
b) Có: $ \displaystyle \widehat{{MAN}}=\widehat{A}-(\widehat{{A_{1}}}+\widehat{{A_{2}}})=\widehat{A}-(\widehat{B}+\widehat{C})=\widehat{A}-(180{}^\circ -\widehat{A})$
Vậy $ \displaystyle \widehat{{MAN}}=2\widehat{A}-180{}^\circ $
4B. Tương tự 4A. Có
$ \displaystyle \widehat{{DAE}}=40{}^\circ $và $ \displaystyle \widehat{{DFE}}=70{}^\circ $
5A. a) Gọi M1, M2 lần lượt là giao điểm của trung trực đoạn OA,OB với AB.
M1A = M1O nên $ \displaystyle \widehat{A}=\widehat{{O_{1}}}$
M2O = M2B nên $ \displaystyle \widehat{B}=\widehat{{O_{2}}}$.
=> $ \displaystyle \widehat{{O_{1}}}+\widehat{{O_{2}}}=\widehat{A}+\widehat{B}=90{}^\circ
=>\widehat{{M_{1}OM_{2}}}=0{}^\circ =>M_{1}\equiv M_{2}\equiv M$
Vậy A, B, M thẳng hàng.
b) Từ kết quả ý a) và MA = MB nên M là trung điểm của AB.
5B. a) Từ giả thiết suy ra DC = DA => $ \displaystyle \widehat{C}=\widehat{{A_{1}}}$
$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\widehat{{A_{2}}}+\widehat{{A_{1}}}=90{}^\circ \\\widehat{B}+\widehat{C}=90{}^\circ \end{array} \right.=>\widehat{{A_{2}}}=\widehat{B}$
b) $ \displaystyle \widehat{{A_{2}}}=\widehat{B}$ => DA = DB.
Mà DC = DA => DC = DB.
=> ĐPCM
