Hướng dẫn học sinh lớp 9 cách biện luận số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất chứa tham số với các bài toán nâng cao liên quan.
Ví dụ 1: Cho hệ phương trình: $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x-2y=5\,\,\,\,\,\,(1)\\mx-y=4\,\,\,\,(2)\end{array} \right.$
a) Giải hệ phương trình với $m=2$.
b) Tìm $m$ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x, y)$ trong đó $x, y$ trái dấu.
c) Tìm $m$ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x ; y)$ thỏa mãn $x=|y|$.
Giải:
a) Với $m=2$ ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x-2 y=5 \\ 2 x-y=4\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=2 y+5 \\ 2(2 y+5)-y=4\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=2 y+5 \\ 3 y=-6\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=-2\end{array}\right.\right.\right.\right.$
b) Từ phương trình (1) ta có $x=2 y+5$. Thay $x=2 y+5$ vào phương trình (2) ta được:
$m(2 y+5)-y=4 \Leftrightarrow(2 m-1) \cdot y=4-5 m$ (3)
Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất. Điều này tương đương với:
$2 m-1 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq \dfrac{1}{2} .$
Từ đó ta được: $y=\dfrac{4-5 m}{2 m-1} ; \quad x=5+2 y=\dfrac{3}{2 m-1} .$ Ta có: $x . y=\dfrac{3(4-5 m)}{(2 m-1)^{2}} \cdot$
Do đó $x, y<0 \Leftrightarrow 4-5 m<0 \Leftrightarrow m>\dfrac{4}{5}$ (thỏa mãn điều kiện)
c) Ta có: $x=|y| \Leftrightarrow \dfrac{3}{2 m-1}=\left|\dfrac{4-5 m}{2 m-1}\right|$ (4)
Từ (4) suy ra $2 m-1>0 \Leftrightarrow m>\dfrac{1}{2}$. Với điều kiện $m>\dfrac{1}{2}$ ta có:
(4) $\Leftrightarrow|4-5 m|=3 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}4-5 m=3 \\ 4-5 m=-3\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=\dfrac{1}{5}(l) \\ m=\dfrac{7}{5}\end{array}\right.\right.$.
Vậy $m=\dfrac{7}{5}$.
Ví dụ 2: Cho hệ phương trình: $ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x+my=m+1\,\,\,\,\,\,(1)} \\ {mx+y=3m-1\,\,\,(2)} \end{array}} \right.$
a) Không giải hệ phương trình trên, cho biết với giá trị nào của $\mathrm{m}$ thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất?
b) Giải và biện luận hệ phương trình trên theo $m$.
c) Tìm số nguyên $m$ sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x, y)$ mà $x, y$ đều là số
nguyên.
d) Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất $(x, y)$ thì điểm $M(x, y)$ luôn chạy trên một
đường thẳng cố định.
e) Tìm $m$ đế hệ trên có nghiệm duy nhất sao cho $x . y$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
a) Từ phương trình (2) ta có $y=3 m-1-m x .$ Thay vào phương trình (1) ta được:
$x+m(3 m-1-m x)=m+1 \Leftrightarrow\left(m^{2}-1\right) x=3 m^{2}-2 m-1$ (3)
Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm duy nhất, tức là $m^{2}-1 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq \pm 1$
Ta cũng có thể lập luận theo cách khác: Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi :
$\dfrac{1}{m} \neq \dfrac{m}{1} \Leftrightarrow m^{2} \neq 1 \Leftrightarrow m \neq \pm 1$
b) Từ phương trình (2) ta có $y=3 m-1-m x$. Thay vào phương trình (1) ta được:
$x+m(3 m-1-m x)=m+1 \Leftrightarrow\left(m^{2}-1\right) \cdot x=3 m^{2}-2 m-1$ (3)
Trường hợp 1: $m \neq \pm 1$. Khi đó hệ có nghiệm duy nhất
$\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{3 m^{2}-2 m-1}{m^{2}-1}=\dfrac{(m-1)(3 m+1)}{(m-1) \cdot(m+1)}=\dfrac{3 m+1}{m+1} \\ y=3 m-1-m \cdot \dfrac{3 m+1}{m+1}=\dfrac{m-1}{m+1}\end{array}\right.$
Trường hợp 2: $m=1$. Khi đó phương trình (3) thành: $0 . x=0$.
Vậy hệ có vô số nghiệm dạng $(x ; 2-x), x \in \mathbb{R}$.
Trường hợp 3: $m=-1$ khi đó phương trình (3) thành: $0 x=4$
(3) vô nghiệm, do đó hệ vô nghiệm.
c) Hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi và chi khi $m \neq \pm 1$.
Ta có: $\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{3 m+1}{m+1}=3-\dfrac{2}{m+1} \\ y=\dfrac{m-1}{m+1}=1-\dfrac{2}{m+1}\end{array}\right.$.
Vậy $x, y$ nguyên khi và chỉ khi $\dfrac{2}{m+1}$ nguyên.
Do đó $m+1$ chỉ có thể là $-2 ;-1 ; 1 ; 2$. Vậy $m=-3 ;-2 ; 0$ (thỏa mãn) hoặc $m=1$ (loại)
Vậy $m$ nhận các giá trị là $-3 ;-2 ; 0$.
d) Khi hệ có nghiệm duy nhất $(x, y)$ ta có: $x-y=3-\dfrac{2}{m+1}-\left(1-\dfrac{2}{m+1}\right)=2$
Vậy điểm $M(x ; y)$ luôn chạy trên đường thẳng cố định có phương trình $y=x-2$.
e) Khi hệ có nghiệm duy nhất $(x ; y)$ theo (d) ta có: $y=x-2$. Do đó:
$x y=x \cdot(x-2)=x^{2}-2 x+1-1=(x-1)^{2}-1 \geq-1$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: $x=1 \Leftrightarrow 3-\dfrac{2}{m+1}=1 \Leftrightarrow \dfrac{2}{m+1}=2 \Leftrightarrow m+1=1 \Leftrightarrow m=0$.
Vậy với $m=0$ thì $x.y$ đạt giá trị nhỏ nhất
Chú ý: Ta cũng có thể tìm quan hệ $x-y=2$ theo cách khác: Khi hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+m y=m+1 \\ m x+y=3 m-1\end{array}\right.$ có nghiệm duy nhất $(\mathrm{m} \neq \pm 1)$ lấy phương trình (2) trừ đi phương trình (1) của hệ ta thu được:
$(m-1) x-(m-1) y=2(m-1) \Rightarrow x-y=2$
Ví dụ 3: Cho hệ phương trình: $ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x+my=3\,\,\,\,\,\,(1)} \\ {mx+y=2m+1\,\,\,(2)} \end{array}} \right.$
Hệ có nghiệm duy nhất $(x, y)$, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau đây:
a) $\quad P=x^{2}+3 y^{2}(1)$.
b) $\quad Q=x^{4}+y^{4}$ (2).
Giải:
Từ phương trình (2) ta suy ra: $y=2 m+1-m x$. Thay vào phương trình (1) ta được:
$x+m(2 m+1-m x)=3 \Leftrightarrow\left(m^{2}-1\right) x=2 m^{2}+m-3$ (3).
Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm duy nhất, điều đó xảy ra khi và chỉ khi: $m^{2}-1 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq \pm 1$.
Khi đó:
$\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{2 m^{2}+m-3}{m^{2}-1}=\dfrac{(m-1)(2 m+3)}{(m-1) \cdot(m+1)}=\dfrac{2 m+3}{m+1}=2+\dfrac{1}{m+1} \\ y=2 m+1-m \cdot \dfrac{2 m+3}{m+1}=\dfrac{1}{m+1}\end{array}\right.$
a) Ta có: $P=x^{2}+3(x-2)^{2}=4 x^{2}-12 x+12=(2 x-3)^{2}+3 \geq 3$
$P=3$ khi $x=\dfrac{3}{2} \Leftrightarrow \dfrac{2 m+3}{m+1}=\dfrac{3}{2} \Leftrightarrow 4 m+6=3 m+3 \Leftrightarrow m=-3$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng 3 .
b) Ta có: $Q=x^{4}+y^{4}=x^{4}+(x-2)^{4}$
đặt $t=x-1$.
Khi đó $Q=(t+1)^{4}+(t-1)^{4}=t^{4}+4 t^{3}+6 t^{2}+4 t+1+t^{4}-4 t^{3}+6 t^{2}-4 t+1=2 t^{4}+12 t^{2}+2 \geq 2$
$Q=2 \Leftrightarrow t=0 \Leftrightarrow x=1 \Leftrightarrow \dfrac{2 m+3}{m+1}=1 \Leftrightarrow 2 m+3=m+1 \Leftrightarrow m=-2$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $Q$ bằng 2 .
Ví dụ 4: Cho hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}m x+(m+1) y=1 \\ (m+1) x-m y=8 m+3\end{array}\right.$.
Chứng minh hệ luôn có nghiệm duy nhất $(x ; y)$ và tìm GTLN của biểu thức $P=\left|x^{2}+y^{2}+(4+2 \sqrt{3}) y\right|$.
Giải:
Xét hai đường thẳng $\left(d_{1}\right): m x+(m+1) y-1=0 ;\left(d_{2}\right):(m+1) x-m y-8 m+3=0$.
+ Nếu $m=0$ thì $\left(d_{1}\right): y-1=0$ và $\left(d_{2}\right): x-5=0$ suy ra $\left(d_{1}\right)$ luôn vuông góc với $\left(d_{2}\right)$.
+ Nếu $m=-1$ thì $\left(d_{1}\right): x+1=0$ và $\left(d_{2}\right): y+11=0$ suy ra $\left(d_{1}\right)$ luôn vuông góc với $\left(d_{2}\right)$.
+ Nếu $m \neq\{0 ; 1\}$ thì đường thẳng $\left(d_{1}\right),\left(d_{2}\right)$ lần lượt có hệ số góc là: $a_{1}=-\dfrac{m}{m+1}, a_{2}=\dfrac{m+1}{m}$ suy ra $a_{1} \cdot a_{2}=-1$ do đó $\left(d_{1}\right) \perp\left(d_{2}\right) .$
Tóm lại với mọi $m$ thì hai đường thẳng $\left(d_{1}\right)$ luôn vuông góc vói $\left(d_{2}\right)$.
Nên hai đường thẳng luôn vuông góc với nhau.
Xét hai đường thẳng $\left(d_{1}\right): m x+(m+1) y-1=0 ;\left(d_{2}\right):(m+1) x-m y-8 m+3=0$ luôn vuông góc với nhau nên nó cắt nhau, suy ra hệ có nghiệm duy nhất.
Gọi giao điểm là $I(x ; y)$, đường thẳng $\left(d_{1}\right)$ đi qua $A(-1 ; 1)$ cố định,
đường thẳng $\left(d_{2}\right)$ luôn đi qua $B(3 ;-5)$ cố định suy ra $I$ thuộc đường tròn đường kính $A B$.
Gọi $M(1 ;-2)$ là trung điểm $A B$ thì
$M I=\dfrac{A B}{2} \Leftrightarrow(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=13\left(^{*}\right)$.
$P=\left|(x-1)^{2}+(y+2)^{2}+2 x+2 \sqrt{3} y-5\right|=|8+2(x+\sqrt{3} y)|=|8+2[x-1+\sqrt{3}(y+2)+1-2 \sqrt{3}]|$ hay
$P=\mid 10-4 \sqrt{3}+2[x-1+\sqrt{3}(y+2)]$
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
$[x-1+\sqrt{3}(y+2)]^{2} \leq(1+3)\left[(x-1)^{2}+(y+2)^{2}\right]=52 \Rightarrow x-1+\sqrt{3}(y+2) \leq \sqrt{52}=2 \sqrt{13}$
Vậy $P \leq 10-2 \sqrt{3}+2 \sqrt{13}$
Ví dụ 5: Cho hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x-m y=2-4 m \\ m x+y=3 m+1\end{array}\right.$. Chứng minh rằng với mọi $m$ hệ phương trình luôn có nghiệm.
Gọi $\left(x_{0} ; y_{0}\right)$ là một cặp nghiệm của phương trình: Chứng minh:
$x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-5\left(x_{0}+y_{0}\right)+10=0$. (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán – ĐHSP Hà Nội 2015).
Giải:
Từ phương trình (2) của hệ phương trình ta có $y=3 m+1-m x$ thay vào phương trình (1) của hệ ta có: $\left(m^{2}+1\right) x=3 m^{2}-3 m+2$.
Do $m^{2}+1 \neq 0$ vói mọi $m$ nên phương trình này luôn có nghiệm duy nhất $x_{0}$. Suy ra hệ luôn có nghiệm với mọi $m$.
Gọi $\left(x_{0} ; y_{0}\right)$ là một nghiệm của hệ.
Từ hệ phương trình ta có: $\left\{\begin{array}{l}x_{0}-2=m\left(y_{0}-4\right) \\ y_{0}-1=m\left(3-x_{0}\right)\end{array}\right.$.
Nhân cả hai vế phương trình thứ nhất với $\left(3-x_{0}\right)$, phương trình thứ hai với $\left(y_{0}-4\right)$ rồi trừ hai phương trình cho nhau ta được: $\left(3-x_{0}\right)\left(x_{0}-2\right)-\left(y_{0}-4\right)\left(y_{0}-1\right)=0 \Leftrightarrow x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-5\left(x_{0}+y_{0}\right)+10=0$.
Ngoài ra ta cũng có thế giải theo cách khác như sau:
$(d): x-m y+4 m-2=0,\left(d^{\prime}\right): m x+y-3 m-1=0 .$
Ta dễ dàng chứng minh được đường thẳng $(d)$ luôn đi qua điểm cố định: $A(2 ; 4)$ và đường thẳng $(d$ ‘) luôn đi qua điểm cố định $: B(3 ; 1)$. Mặt khác ta cũng dễ chứng minh đường thẳng $(d)$ và đường thẳng $\left(d^{\prime}\right)$ vuông góc với nhau nên hai đường thẳng này luôn cắt nhau.
Gọi $M\left(x_{0} ; y_{0}\right)$ là giao điểm của hai đường thẳng thì tam giác $M A B$ vuông tại $M$.
Gọi $I$ là trung điểm của $A B$ thì $I\left(\dfrac{5}{2} ; \dfrac{5}{2}\right), A B=\sqrt{10}$
suy ra $I M=\dfrac{1}{2} A B \Leftrightarrow 4 I M^{2}=A B^{2} \Leftrightarrow 4\left[\left(x_{0}-\dfrac{5}{2}\right)^{2}+\left(y_{0}-\dfrac{5}{2}\right)^{2}\right]=10 . \Leftrightarrow x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-5\left(x_{0}+y_{0}\right)+10=0$