Hướng dẫn học sinh lớp 7 cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất ( GTNN) của biểu thức qua các ví dụ minh họa có hướng dẫn giải.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau
a) $ \displaystyle A=\left| {2x-\frac{1}{3}} \right|-\frac{7}{4}$
b) $ \displaystyle \frac{1}{3}\left| {x-2} \right|+2\left| {3-\frac{1}{2}y} \right|+4$
Giải:
a) $ \displaystyle A=\left| {2x-\frac{1}{3}} \right|-\frac{7}{4}$
Do $ \displaystyle \left| {2x-\dfrac{1}{3}} \right|\ge 0$ với $ \displaystyle \forall x\in \mathbb{R}$ nên
$ \displaystyle A=\left| {2x-\dfrac{1}{3}} \right|-\dfrac{7}{4}\ge 0-\dfrac{7}{4}=-\dfrac{7}{4}$
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là $ \displaystyle -\dfrac{7}{4}$
Dấu “=” xảy ra $ \displaystyle \left| {2x-\dfrac{1}{3}} \right|=0\Leftrightarrow 2x=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{6}$
b) $ \displaystyle \frac{1}{3}\left| {x-2} \right|+2\left| {3-\frac{1}{2}y} \right|+4$
Do $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\left| {x-2} \right|\ge 0\\\left| {3-\dfrac{1}{2}y} \right|\ge 0\end{array} \right.$ với $ \displaystyle \forall x,y\in \mathbb{R}$
nên $ \displaystyle \dfrac{1}{3}\left| {x-2} \right|+2\left| {3-\dfrac{1}{2}y} \right|+4\ge \dfrac{1}{3}\cdot 0+2\cdot 0+4=4$
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là $4$
Dấu “=” xảy ra $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\left| {x-2} \right|=0\\\left| {3-\dfrac{1}{2}y} \right|=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x-2=0\\3-\dfrac{1}{2}y=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=2\\y=6\end{array} \right.$
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau
a) $ \displaystyle A=2,25-\frac{1}{4}\left| {1+2x} \right|$
b) $ \displaystyle B=\dfrac{1}{{3+\dfrac{1}{2}\left| {2x-3} \right|}}$
Giải:
a) $ \displaystyle A=2,25-\frac{1}{4}\left| {1+2x} \right|$
Do $ \displaystyle \left| {1+2x} \right|\ge 0$ với $ \displaystyle \forall x\in \mathbb{R}$ nên
$ \displaystyle A=2,25-\dfrac{1}{4}\left| {1+2x} \right|\le 2,25-\dfrac{1}{4}\cdot 0=2,25$
Vậy giá trị lớn nhất của A là $2,25$
Dấu “=” xảy ra $ \displaystyle \left| {1+2x} \right|=0\Leftrightarrow 1+2x=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2}$.
b) $ \displaystyle B=\dfrac{1}{{3+\dfrac{1}{2}\left| {2x-3} \right|}}$
Do $ \displaystyle \left| {2x-3} \right|\ge 0$ với $ \displaystyle \forall x\in \mathbb{R}$ nên
$ \displaystyle 3+\dfrac{1}{2}\left| {2x-3} \right|\ge 3+0=3$
$ \displaystyle \Rightarrow B=\dfrac{1}{{3+\dfrac{1}{2}\left| {2x-3} \right|}}\le \dfrac{1}{3}$
Dấu “=” xảy ra $ \displaystyle \left| {2x-3} \right|=0\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}$.
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) $ \displaystyle A=0,75-\left| {x-3,2} \right|$
b) $ \displaystyle B=2\left| {x+1,5} \right|-3,2$
c) $ \displaystyle C=0,7-\left| {3x-1} \right|$
d) $ \displaystyle D=\frac{1}{{\left| {x+0,3} \right|+0,5}}$
e) $ \displaystyle E=\left| {x+1} \right|+\left| {x+2} \right|$
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
a) $ \displaystyle A=\left| {2x-\frac{1}{3}} \right|-\frac{7}{4}$
b) $ \displaystyle B=\frac{1}{3}\left| {x-2} \right|+2\left| {3-\frac{1}{2}y} \right|+4$
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a) $ \displaystyle A=\frac{9}{4}-\frac{1}{4}\left| {1+2x} \right|$
b) $ \displaystyle B=\frac{{2018}}{{2019}}-\left| {x-\frac{5}{6}} \right|$
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức:
a) $ \displaystyle A=4,85+\left| {5,1-x} \right|$
b) $ \displaystyle B=-4,9+\left| {x+2,9} \right|$
c) $ \displaystyle C=-\left| {x+\frac{5}{7}} \right|+\frac{4}{{13}}$
d) $ \displaystyle D=\frac{1}{{3+\frac{1}{2}\left| {2x-3} \right|}}$