Bài toán chia hết nâng cao lớp 6 thường yêu cầu kết hợp dấu hiệu chia hết, phân tích nhân tử, xét số dư và tính chất chia hết của tổng – hiệu – tích. Khi trình bày, nên dùng ký hiệu \(a\mid b\) để diễn đạt “\(a\) chia hết \(b\)” theo chiều đúng: \(m\mid A\) nghĩa là \(A\) chia hết cho \(m\).
1. Kiến thức cần nhớ
- Chia hết cho 2: số có chữ số tận cùng là \(0,2,4,6,8\).
- Chia hết cho 3: tổng các chữ số chia hết cho 3.
- Chia hết cho 5: chữ số tận cùng là \(0\) hoặc \(5\).
- Chia hết cho 9: tổng các chữ số chia hết cho 9.
- Nếu \(m\mid A\) và \(m\mid B\) thì \(m\mid(A+B)\) và \(m\mid(A-B)\).
- Nếu \(m\mid A\) thì \(m\mid A\cdot k\) với mọi số nguyên \(k\).
- Nếu \(m\mid A\), \(n\mid A\) và \(\gcd(m,n)=1\) thì \(mn\mid A\).
Lưu ý: từ \(m\mid(A+B)\) không được suy ngược rằng \(m\mid A\) và \(m\mid B\).
2. Bài tập mẫu có lời giải
Bài 1. Chứng minh các biểu thức chia hết
a) Chứng minh \(43\mid\left(7^{14}-7^{13}+7^{12}\right)\).
Ta có
\(7^{14}-7^{13}+7^{12}=7^{12}(7^2-7+1)=43\cdot7^{12}\).
Vì vậy \(43\mid\left(7^{14}-7^{13}+7^{12}\right)\).
b) Chứng minh \(5\mid\left(3^{201}+2^{33}\right)\).
Chu kỳ số dư modulo \(5\) của \(3^n\) và \(2^n\) đều có độ dài 4. Vì \(201\equiv1\pmod{4}\) và \(33\equiv1\pmod{4}\), nên
\(3^{201}\equiv3\pmod{5}\), \(2^{33}\equiv2\pmod{5}\).
Suy ra \(3^{201}+2^{33}\equiv0\pmod{5}\).
c) Chứng minh \(7\mid\left(4^{13}\cdot3^{23}-6^{23}\right)\).
\(4^{13}\cdot3^{23}=2^{26}\cdot3^{23}=2^3\cdot6^{23}\).
Do đó
\(4^{13}\cdot3^{23}-6^{23}=6^{23}(2^3-1)=7\cdot6^{23}\),
nên biểu thức chia hết cho 7.
d) Chứng minh \(10\mid\left(9^{201}+1^{330}\right)\).
Vì \(201\) lẻ nên \(9^{201}\) có chữ số tận cùng là 9; \(1^{330}\) có chữ số tận cùng là 1. Tổng có chữ số tận cùng là 0 nên chia hết cho 10.
Bài 2. Khai thác cấu tạo số
a) Cho số có ba chữ số \(\overline{abc}\). Nếu \(7\mid\overline{abc}\), chứng minh \(7\mid(9a+3b+c)\).
Ta có
\(\overline{abc}=100a+10b+c=(9a+3b+c)+7(13a+b)\).
Vì \(7\mid\overline{abc}\) và \(7\mid7(13a+b)\), suy ra \(7\mid(9a+3b+c)\).
b) Cho số có bốn chữ số \(\overline{abcd}\). Nếu \(99\mid\overline{abcd}\), chứng minh \(99\mid\left(\overline{ab}+\overline{cd}\right)\).
Ta có
\(\overline{abcd}=100\overline{ab}+\overline{cd}=99\overline{ab}+\left(\overline{ab}+\overline{cd}\right)\).
Vì \(99\mid\overline{abcd}\) và \(99\mid99\overline{ab}\), suy ra \(99\mid\left(\overline{ab}+\overline{cd}\right)\).
Bài 3. Tổng các lũy thừa của 2
Cho \(A=2+2^2+2^3+\cdots+2^{100}\).
a) Chứng minh \(A\) chia hết cho 6.
Ghép thành 50 cặp:
\(A=(2+2^2)+(2^3+2^4)+\cdots+(2^{99}+2^{100})\).
Mỗi cặp có dạng \(2^{2k-1}(1+2)=3\cdot2^{2k-1}\), nên đều chia hết cho 6. Vì vậy \(6\mid A\).
b) Tìm chữ số tận cùng của \(A\).
Ghép theo từng nhóm 4 số hạng:
\(2^{4k+1}+2^{4k+2}+2^{4k+3}+2^{4k+4}=2^{4k+1}(1+2+4+8)=15\cdot2^{4k+1}\).
Mỗi nhóm chia hết cho 10. Có đúng 25 nhóm nên \(10\mid A\). Do đó chữ số tận cùng của \(A\) là \(0\).
3. Cách tự kiểm tra khi làm bài chia hết
- Đề yêu cầu chứng minh chia hết cho số nào? Có thể phân tích số đó thành các thừa số nguyên tố cùng nhau không?
- Có thể đặt nhân tử chung để “lộ” thừa số cần chứng minh không?
- Nếu dùng số dư, đã xét đúng chu kỳ và đúng mô-đun chưa?
- Khi dùng cấu tạo số \(\overline{abc}\), \(\overline{abcd}\), đã viết đúng \(100a+10b+c\) hoặc \(100\overline{ab}+\overline{cd}\) chưa?
Xem thêm Chuyên đề Số học THCS để học tiếp các dạng số nguyên tố, ƯCLN – BCNN, đồng dư, số chính phương và chữ số tận cùng.