LÝ THUYẾT CĂN BẬC HAI
Căn bậc hai:
Căn bậc hai số học của a là số dương x sao cho x2 = a. Ta viết:
$ x=\sqrt{a}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge 0\\x_{{}}^{2}=a\end{array} \right.$
Hằng đẳng thức: $ \sqrt{A_{{}}^{2}}=\left| A \right|$
Phép toán: A ≥ 0; B ≥ 0
$ \sqrt{A.B}=\sqrt{A}.\sqrt{B}$ (A ≥ 0; B ≥ 0)
$ \sqrt{\dfrac{A}{B}}=\dfrac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$ (A ≥ 0; B > 0)
Phép biến đổi: $ \sqrt{A_{{}}^{2}.B}=\left| A \right|\sqrt{B}$
Phép trục căn ở mẫu: (A ≥ 0; B > 0)
$ \dfrac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}=\dfrac{\sqrt{A.B}}{\left| B \right|}$ ;
$ \dfrac{1}{\sqrt{B}\pm C}=\dfrac{\sqrt{B}\pm C}{\left| B \right|-C_{{}}^{2}}$ ;
$ \dfrac{1}{\sqrt{B}\pm \sqrt{C}}=\dfrac{\sqrt{B}\pm \sqrt{C}}{\left| B \right|-\left| C \right|}$
Căn bậc ba:
1. Khái niệm căn bậc ba:
- Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x3 = a
- Với mọi a thì $ {{(\sqrt[3]{a})}^{3}}=\sqrt[3]{{{a}^{3}}}=a$
2. Tính chất
- Với a < b thì $ \sqrt[3]{a}<\sqrt[3]{b}$
- Với mọi a, b thì $ \sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b}$
- Với mọi a và b ≠ 0 thì $ \sqrt[3]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$
Căn bậc n
(Kiến thức dành cho học sinh khá giỏi, thi vào lớp chuyên Toán)
1. Căn bậc n (2 ≤ n ∈ N) của số a là một số mà lũy thừa n bằng a
2. Căn bậc lẻ (n = 2k + 1)
- Mọi số đều có một và chỉ một căn bậc lẻ
- Căn bậc lẻ của số dương là số dương
- Căn bậc lẻ của số âm là số âm
- Căn bậc lẻ của số 0 là số 0
3. Căn bậc chẵn (n = 2k )
- Số âm không có căn bậc chẵn
- Căn bậc chẵn của số 0 là số 0
- Số dương có hai căn bậc chẵn là hai số đối nhau kí hiệu là $ \sqrt[2k]{a}$ và $ -\sqrt[2k]{a}$
4. Các phép biến đổi căn thức:
- $ \sqrt[2k+1]{A}$ xác định với ∀ A
$ \sqrt[2k]{A}$ xác định với ∀ A ≥ 0 - $ \sqrt[2k+1]{{{A}^{2k+1}}}=A$ với ∀ A
$ \sqrt[2k]{{{A}^{2k}}}=\left| A \right|$ với ∀ A - $ \sqrt[2k+1]{A.B}=\sqrt[2k+1]{A}.\sqrt[2k+1]{B}$ với ∀ A, B
$ \sqrt[2k]{A.B}=\sqrt[2k]{\left| A \right|}.\sqrt[2k]{\left| B \right|}$ với ∀ A, B mà A.B ≥ 0 - $ \sqrt[2k+1]{{{A}^{2k+1}}.B}=A.\sqrt[2k+1]{B}$ với ∀ A, B
$ \sqrt[2k]{{{A}^{2k}}.B}=\left| A \right|.\sqrt[2k]{B}$ với ∀ A, B mà B ≥ 0 - $ \sqrt[2k+1]{\dfrac{A}{B}}=\dfrac{\sqrt[2k+1]{A}}{\sqrt[2k+1]{B}}$ với ∀ A, B mà B ≠ 0
$ \sqrt[2k]{\dfrac{A}{B}}=\dfrac{\sqrt[2k]{\left| A \right|}}{\sqrt[2k]{\left| B \right|}}$ với ∀ A, B mà B ≠ 0, A.B ≥ 0 - $ \sqrt[m]{\sqrt[n]{A}}=\sqrt[mn]{A}$ với ∀ A, mà A ≥ 0
- $ \sqrt[m]{{{A}^{n}}}={{A}^{\dfrac{m}{n}}}$ với ∀ A, mà A ≥ 0
CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ CĂN BẬC HAI
Dạng tính căn bậc hai số học
Ví dụ: Tính
$ A=3\sqrt{75}+\sqrt{192}-5\sqrt{108}-\dfrac{2}{3}\sqrt{243}$
= $ 3\sqrt{25.3}+\sqrt{64.3}-5\sqrt{36.3}-\dfrac{2}{3}\sqrt{81.3}$
= $ 3\sqrt{5_{{}}^{2}.3}+\sqrt{8_{{}}^{2}.3}-5\sqrt{6_{{}}^{2}.3}-\dfrac{2}{3}\sqrt{9_{{}}^{2}.3}$
= $ 15\sqrt{3}+8\sqrt{3}-5.6\sqrt{3}-\dfrac{2}{3}.9\sqrt{3}$
= $ -13\sqrt{3}$
Nhận xét: Phân tích và áp dụng Phép biến đổi $ \sqrt{A_{{}}^{2}.B}=\left| A \right|\sqrt{B}$
Bài tập rèn luyện
$ B=6\sqrt{80}+5\sqrt{45}+4\sqrt{1.25}-5\sqrt{\dfrac{1}{5}}$ ;
$ C=\sqrt{7}-\dfrac{1}{2}\sqrt{28}-20\sqrt{0.07}+\dfrac{1}{5}\sqrt{175}$
Dạng trục căn ở mẫu
Nhận xét:
– Ta trục căn từng phân thức sau đó ghép lại.
– Trước khi trục căn ở mẫu, ta rút gọn phân thức.
Bài tập rèn luyện
Dạng căn kép (căn chứa căn)
Phương pháp giải:
– Áp dụng công thức: (A ± B)2 = A2 ± 2AB + B2
Dạng rút gọn căn thức
Bài tập rèn luyện
$ A=\left( \dfrac{1}{a-\sqrt{a}}+\dfrac{\sqrt{a}}{a-1} \right):\dfrac{a\sqrt{a}-1}{a\sqrt{a}-2a+\sqrt{a}}$ (a > 0 và a ≠ 1)
Dạng phương trình căn
Phương pháp giải:
Định nghĩa:
$ x=\sqrt{a}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge 0\\x_{{}}^{2}=a\end{array} \right.$ ;
Công thức:
$ \sqrt{A}=B\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B\ge 0\\A=B_{{}}^{2}\end{array} \right.$ ;
$ \sqrt{A}=\sqrt{B}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\ge 0;B\ge 0\\A=B\end{array} \right.$
Giải bài tập mẫu:
Ví dụ: Tìm x biết: $ \sqrt{{x-3}}=5$
Ta có : 5 ≥ 0, nên: x – 3 = 52 = 25
⇔ x = 25 + 3
⇔ x = 28
Vậy : x = 28
Bài tập rèn luyện
a) $ \sqrt{36x}-\sqrt{25x}=2$
b) $ \sqrt{x_{{}}^{2}+6x+9}+1-2x=0$
c) $ \sqrt{x-1+2\sqrt{x-2}}+\sqrt{x+7+6\sqrt{x-2}}=8$