Hướng dẫn học sinh cách chứng minh bất đẳng thức bằng định nghĩa, một trong những cách chứng minh BĐT cơ bản, thường dùng.
Để sử dụng được phương pháp này các em cần nắm được Những hằng đẳng thức đáng nhớ đã học.
Dùng định nghĩa chứng minh bất đẳng thức
Phương pháp chung:
Để chứng minh \(A > B\), ta xét hiệu \(A – B\) sau đó chứng minh \(A – B > 0\) rồi kết luận.
Ví dụ có lời giải:
Ví dụ 1: Cho \(a, b, c\) là 3 số tuỳ ý chứng minh rằng:
\(a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq a b+b c+c a\)
Giải:
Xét biểu thức: \(M=a^{2}+b^{2}+c^{2}-(a b+b c+c a)\)
Suy ra \(2 \mathrm{M}=2 \mathrm{a}^{2}+2 \mathrm{~b}^{2}+2 \mathrm{c}^{2}-2 \mathrm{ab}-2 \mathrm{bc}-2 \mathrm{ca}\)
\(\displaystyle =\left(a^{2}-2 a b+b^{2}\right)+\left(b^{2}-2 b c+c^{2}\right)+\left(c^{2}-2 c a+a^{2}\right)\)
\(\displaystyle =(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\)
Vì: \(\quad(a-b)^{2} \geq 0\)
\((b-c)^{2} \geq 0\)
\((c-a)^{2} \geq 0\)
Do đó \((a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2} \geq 0\)
Suy ra \(2 \mathrm{a}^{2}+2 \mathrm{~b}^{2}+2 \mathrm{c}^{2}-2 \mathrm{ab}-2 \mathrm{bc}-2 \mathrm{ca} \geq 0\) hay \(\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}-(\mathrm{ab}+\mathrm{bc}+\mathrm{ca}) \geq 0\)
Vậy: \(a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq a b+b c+c a\).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{c}\)
Ví dụ 2: Cho \(a, b, c\) là 3 số tuỳ ý chứng minh rằng:
\(\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+\dfrac{3}{4} \geq a+b+c\)
Giải:
Xét biểu thức: \(\displaystyle\mathrm{N}=\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}+\dfrac{3}{4}-(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c})\)
\(\displaystyle=\left(a^{2}-a+\dfrac{1}{4}\right)+\left(b^{2}-b+\dfrac{1}{4}\right)+\left(c^{2}-c+\dfrac{1}{4}\right)\)
\(\displaystyle=\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(b-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(c-\dfrac{1}{2}\right)^{2}\)
Vì \(\displaystyle\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^{2} \geq 0 ; \quad\left(b-\dfrac{1}{2}\right)^{2} \geq 0 ; \quad\left(c-\dfrac{1}{2}\right)^{2} \geq 0 .\)
Do đó \(\displaystyle\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(b-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(c-\dfrac{1}{2}\right)^{2} \geq 0\)
Suy ra \(\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+\dfrac{3}{4}-(a+b+c) \geq 0\)
\(\displaystyle\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+\dfrac{3}{4} \geq a+b+c\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\displaystyle\mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{c}=\dfrac{1}{2}\)
Bài viết liên quan
- Chuyên đề Bất đẳng thức và Cực trị THCS
- Bất đẳng thức Bunhiacopxki
- Bất đẳng thức Cosi (AM-GM)
- Một số bài toán Bất đẳng thức chọn lọc thi vào 10 năm 2023
- 14 bổ đề bất đẳng thức thường gặp
Mở rộng: chứng minh bất đẳng thức bằng cách xét hiệu
Phương pháp cơ bản là đưa bài toán \(A\ge B\) về việc chứng minh \(A-B\ge0\). Sau đó cố gắng phân tích \(A-B\) thành tổng các bình phương hoặc tích các biểu thức có dấu xác định.
Ví dụ 1
Chứng minh \(a^2+b^2\ge2ab\).
Ta có:
\(a^2+b^2-2ab=(a-b)^2\ge0\).
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b\).
Ví dụ 2
Với \(x>0\), chứng minh \(x+\dfrac{1}{x}\ge2\).
Ta có:
\(x+\dfrac{1}{x}-2=\dfrac{(x-1)^2}{x}\ge0\).
Điều kiện \(x>0\) rất quan trọng vì mẫu số phải dương.
Khi viết lời giải, luôn nêu rõ điều kiện để từng thừa số không âm và điều kiện xảy ra dấu bằng.