Tìm giá trị của tham số thỏa mãn biểu thức nghiệm cho trước của phương trình bậc 2

CÁCH LÀM

+ Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm $ \displaystyle x_{1};x_{2}$ ( a ≠ 0 và Δ ≥ 0)

+ Từ biểu thức chứa nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Vi-et để giải phương trình tìm m

+ Đối chiếu với điều kiện để xác định m.

VÍ DỤ

Ví dụ 1:  Cho phương trình $ \displaystyle mx^{2}-6(m-1)x+9(m-3)=0$ Tìm giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm $ \displaystyle x_{1};x_{2}$ thỏa mãn $ \displaystyle x_{1}+x_{2}=x_{1}x_{2}$

Giải:       Điều kiện để phương trình có hai nghiệm $ \displaystyle x_{1};x_{2}$$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}a\ne 0\\\Delta ‘\ge 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m\ne 0\\9(m+1)\ge 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m\ne 0\\m\ge -1\end{array} \right.$

Theo định lí Vi-et ta có: $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x_{1}+x_{2}=\dfrac{{6(m-1)}}{m}\\x_{1}x_{2}=\dfrac{{9(m-3)}}{m}\end{array} \right.$

Từ $ \displaystyle x_{1}+x_{2}=x_{1}x_{2}$ $ \displaystyle \Rightarrow $$ \displaystyle \dfrac{{6(m-1)}}{m}=\dfrac{{9(m-3)}}{m}$$ \displaystyle \Leftrightarrow 6m-6=9m-27\Leftrightarrow 3m=21\Leftrightarrow m=7$(TMĐK)

Vậy với m = 7 thì phương trình có hai nghiệm $ \displaystyle x_{1};x_{2}$ thỏa mãn $ \displaystyle x_{1}+x_{2}=x_{1}x_{2}$

Ví dụ 2:  Cho phương trình $ \displaystyle mx^{2}-2(m-4)x+m+7=0$ . Tìm giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm $ \displaystyle x_{1};x_{2}$ thỏa mãn $ \displaystyle x_{1}-2x_{2}=0$

Nhận xét: Ví dụ này khác ví dụ 11 ở chỗ hệ thức không chứa sẵn $ \displaystyle x_{1}+x_{2}$ và $ \displaystyle x_{1}x_{2}$ nên ta không thể áp dụng ngay hệ thức Vi –et để tìm tham số m

Vấn đề đặt ra là ta phải biến đổi  biểu thức đã cho về biểu thức chứa $ \displaystyle x_{1}+x_{2}$ và $ \displaystyle x_{1}x_{2}$  rồi tìm m như ví dụ trên.

Giải: Điều kiện để phương trình có hai nghiệm $ \displaystyle x_{1};x_{2}$ là: $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}m\ne 0\\m\le \dfrac{{16}}{{15}}\end{array} \right.$

Theo định lí Vi-et ta có: $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x_{1}+x_{2}=\dfrac{{-(m-4)}}{m}\\x_{1}x_{2}=\dfrac{{m+7}}{m}\end{array} \right.$(1)

Từ $ \displaystyle x_{1}-2x_{2}=0$ $ \displaystyle \Rightarrow $ $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x_{1}+x_{2}=3x_{2}\\2(x_{1}+x_{2})=3x_{1}\end{array} \right.\Rightarrow 2(x_{1}+x_{2})^{2}=9x_{1}x_{2}$ (2)

Thế (1) vào (2) ta được phương trình $ \displaystyle m^{2}+127m-128=0$, phương trình ẩn m

Có hai nghiệm là: $ \displaystyle m_{1}=1;m_{2}=-128$(TMĐK)

Vậy với $ \displaystyle m=1$ hoặc $ \displaystyle m=-128$ thì phương trình có hai nghiệm $ \displaystyle x_{1};x_{2}$ thỏa mãn $ \displaystyle x_{1}-2x_{2}=0$

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình $ \displaystyle 3x^{2}+4(m-1)x+m^{2}-4m+1=0$  có hai nghiệm $ \displaystyle x_{1};x_{2}$thỏa mãn $ \displaystyle \dfrac{1}{{x_{1}}}+\dfrac{1}{{x_{2}}}=\dfrac{1}{2}(x_{1}+x_{2})$

Nhận xét: Với bài toán này ta chỉ cần xét điều kiện $ \displaystyle \Delta ‘\ge 0$ vì $ \displaystyle a=3\ne 0$. Hay $ \displaystyle m^{2}+4m+1\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m\le -2-\sqrt{3}\\m\ge -2+\sqrt{3}\end{array} \right.$(*)

– Cần thêm điều kiện  P $ \displaystyle \ne 0$ để có $ \displaystyle \dfrac{1}{{x_{1}}};\dfrac{1}{{x_{2}}}$ đó là $ \displaystyle m\ne 2\pm \sqrt{3}$

– Một sai lầm học sinh hay mắc phải đó là biến đổi

$ \displaystyle \dfrac{1}{{x_{1}}}+\dfrac{1}{{x_{2}}}=\dfrac{1}{2}(x_{1}+x_{2})\Leftrightarrow 2(x_{1}+x_{2})=(x_{1}+x_{2})x_{1}x_{2}$

Hai vế của đẳng thức đều chứa $ \displaystyle x_{1}+x_{2}$ nên rút gọn đi để được $ \displaystyle 2=x_{1}x_{2}$

Điều này sai vì có thể có trường hợp $ \displaystyle x_{1}+x_{2}$ = 0

Do đó ta phải chuyển vế để đưa về dạng tích:

$ \displaystyle \begin{array}{l}(x_{1}+x_{2})(2-x_{1}x_{2})=0\\\Leftrightarrow 4(m-1)(-m^{2}+4m+5)=0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m=1\\m=-1\\m=5\end{array} \right.\end{array}$

– Ta thấy m = – 1 không thỏa mãn (*) nên loại

Vậy m = 1 hoặc m = 5 là giá trị cần tìm

Ví dụ 4: Cho phương trình $ x^{2}-2(m-1)x+2m-5=0$

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x₁; x₂ với mọi m.

b) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn điều kiện:

$ (x_{1}^{2}-2mx_{1}+2m-1)(x_{2}^{2}-2mx_{2}+2m-1)<0$

Giải:

a) $ \Delta ‘$= m² – 4m + 6 = (m – 2)² + 2 > 0,$ \forall $m $ \Rightarrow $ pt  luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ nên: $ \left\{ \begin{array}{l}x_{1}^{2}-2(m-1)x_{1}+2m-5=0\\x_{2}^{2}-2(m-1)x_{2}+2m-5=0\end{array} \right.$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_{1}^{2}-2mx_{1}+2m-1=4-2x_{1}\\x_{2}^{2}-2mx_{2}+2m-1=4-2x_{2}\end{array} \right.$
Theo định lí Vi-et ta có : $ \left\{ \begin{array}{l}x_{1}+x_{2}=2m-2\\x_{1}.x_{2}=2m-5\end{array} \right.$

Theo bài ra ta có :$ \begin{array}{l}(x_{1}^{2}-2mx_{1}+2m-1)(x_{2}^{2}-2mx_{2}+2m-1)<0\\\Leftrightarrow \left( {4-2x_{1}} \right).\left( {4-2x_{2}} \right)<0\,\,\,\Leftrightarrow 16-8\left( {x_{1}+x_{2}} \right)+4x_{1}x_{2}<0\\\Leftrightarrow 16-8\left( {2m-2} \right)+4\left( {2m-5} \right)<0\,\,\,\Leftrightarrow m>\dfrac{3}{2}\end{array}$

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Cho phương trình $ \displaystyle x^{2}+(m-1)x+5m-6=0$ .

Tìm giá trị của tham số m để hai nghiệm $ \displaystyle x_{1};x_{2}$ thỏa mãn $ \displaystyle 4x_{1}+3x_{2}=1$

Bài 2: Cho phương trình $ mx^{2}-2(m-1)x+3(m-2)=0$ .

Tìm giá trị của tham số m để hai nghiệm $ \displaystyle x_{1};x_{2}$ thỏa mãn $ x_{1}+2x_{2}=1$

Bài 3: Cho phương trình x² – 2mx + 4m – 3 = 0.Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn  x₁² + x²₂ = 6

Bài 4: Cho phương trình $ \displaystyle x^{2}+(2m-1)x-m=0$

a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm $ \displaystyle x_{1};x_{2}$ thỏa mãn $ \displaystyle x_{1}-x_{2}=1$

Bài 5: Cho phương trình $ \displaystyle x^{2}-(2m+1)x+m^{2}+2=0$ . Tìm giá trị của tham số m để hai nghiệm $ \displaystyle x_{1};x_{2}$ thỏa mãn $ \displaystyle 3x_{1}x_{2}-5(x_{1}+x_{2})+7=0$.

Bài 6*: Cho phương trình $ \displaystyle 8x^{2}-8x+m^{2}+1=0$ (*) (x là ẩn số)

Định m để phương trình (*) có hai nghiệm $ \displaystyle x_{1}$, $ \displaystyle x_{2}$ thỏa điều kiện: $ \displaystyle x_{1}^{4}-x_{2}^{4}=x_{1}^{3}-x_{2}^{3}$

HD: ∆’ = $ \displaystyle 16-8m^{2}-8=8(1-m^{2})$.

Khi m = $ \displaystyle \pm 1$ thì  ta có ∆’ = 0 tức là : $ \displaystyle x_{1}=x_{2}$  khi đó $ \displaystyle x_{1}^{4}-x_{2}^{4}=x_{1}^{3}-x_{2}^{3}$  thỏa

Điều kiện cần để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt là: $ \displaystyle \left| m \right|<1\,\,hay\,\,-1<m<1$ .

Khi $ \displaystyle \left| m \right|<1\,\,hay\,\,-1<m<1$  ta có

$ \displaystyle x_{1}^{4}-x_{2}^{4}=x_{1}^{3}-x_{2}^{3}$$ \displaystyle \Leftrightarrow \left( {x_{1}^{2}-x_{2}^{2}} \right)\left( {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}} \right)=\left( {x_{1}-x_{2}} \right)\left( {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{1}.x_{2}} \right)$

$ \displaystyle \Leftrightarrow \left( {x_{1}+x_{2}} \right)\left( {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}} \right)=\left( {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{1}.x_{2}} \right)$(Do x₁ khác x₂)

$ \displaystyle \Leftrightarrow \left( {x_{1}+x_{2}} \right)\left[ {{\left( {x_{1}+x_{2}} \right)}^{2}-2x_{1}x_{2}} \right]=\,(x_{1}+x_{2})^{2}-x_{1}.x_{2}$$ \displaystyle \Leftrightarrow S(S^{2}-2P)=S^{2}-P$

$ \displaystyle \Leftrightarrow 1(1^{2}-2P)=1^{2}-P$ (Vì S = 1)

$ \displaystyle \Leftrightarrow P=0$$ \displaystyle \Leftrightarrow m^{2}+1=0$(vô nghiệm)

Do đó yêu cầu bài toán $ \displaystyle \Leftrightarrow m=\pm 1$

Bài 7: Cho phương trình:

Tìm m để 2 nghiệm  và  thoả mãn hệ thức :

Bài 8: Cho phương trình x² – (m+1)x + m – 5 = 0

Xác định tham số m để phươg trình có hai nghiệm x₁, x_2­ thỏa mãn $ \left\{ \begin{array}{l}x_{1}-x_{2}=4\\x_{1}^{3}-x_{2}^{3}=32\end{array} \right.$

HD: $ \Delta =(m+1)^{2}-4(m-5)=(m-1)^{2}+20>0\forall m$

Theo Vi- ét ta có S= x₁ + x₂ =m+1; P = x₁.x₂ = m – 5

Theo giả thiết: x₁– x₂ = 4 và x₁³ –x₂³ = 32 nên ta biến đổi:

x₁³ –x₂³ = (x₁– x₂)(x₁² + x₁x₂ + x₂²) =4((x₁+x₂)² – x₁x₂) = 4((m+1)² – (m-5)) = 32

$ \Leftrightarrow $m² + m + 6 = 8       $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m=1\\m=-2\end{array} \right.$

Cả hai giá trị của m=1 hoặc m=-2 đều thỏa mãn.

Bài 9: Định m để phương trình x² –(m-1)x + 2m = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạng huyền bằng 5.

HD: (x₁² + x₂² = 5)

Bài 10: Cho phương trình x² – 2(m + 1)x + 4m = 0     (1)

Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn (x₁ + m)(x₂ + m) = 3m² + 12

HD: Ta có vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

Áp dụng định lí Vi-et ta có:

Để (x₁ + m)(x₂ + m) = 3m² + 12 khi và chỉ khi x₁x₂ + (x₁ + x₂) m – 2 m² – 12 = 0,  khi và chỉ khi : 4m + m.2(m + 1) – 2m² – 12 = 0 khi và chỉ khi 6m = 12 khi và chỉ khi m= 2

Bài 11*: Cho phương trình $ x^{2}-3x+m=0$ (1) (x là ẩn).

Tìm các giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $ x_{1},x_{2}$ thỏa mãn

$ \sqrt{{x_{1}^{2}+1}}+\sqrt{{x_{2}^{2}+1}}=3\sqrt{3}$.

HD: Tìm m để $ x_{1},x_{2}$ thỏa mãn $ \sqrt{{x_{1}^{2}+1}}+\sqrt{{x_{2}^{2}+1}}=3\sqrt{3}$

Pt (1) có hai nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow \Delta =9-4m>0\Leftrightarrow m<\dfrac{9}{4}$ (1)

Theo định lí Viet $ x_{1}+x_{2}=3,x_{1}x_{2}=m$. Bình phương ta được $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2+2\sqrt{{(x_{1}^{2}+1)(x_{2}^{2}+1)}}=27$

$ \Leftrightarrow x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2\sqrt{{x_{1}^{2}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+1}}=25$.

Tính được $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=9-2m$ và đưa hệ thức trên về dạng $ \sqrt{{m^{2}-2m+10}}=m+8$ (2)

$ \Rightarrow m^{2}-2m+10=m^{2}+16m+64\Leftrightarrow 18m=-54\Leftrightarrow m=-3$.

Thử lại thấy $ m=-3$ thỏa mãn pt (2) và điều kiện (1).

Bài 12: Cho phương trình : x² – 2mx + m² – m + 1 = 0

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn: $ \displaystyle x_{1}^{2}+2mx_{2}=9$

Đ/a: Vậy  m = $ \displaystyle \dfrac{5}{3}$ thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x₁^, x₂ : $ \displaystyle x_{1}^{2}+2mx_{2}=9$

Bài 13: Cho phương trình x² – 2(m + 1)x + m² + 4 = 0 (m là tham số)

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn $ \displaystyle x_{1}^{2}+2(m+1)x_{2}\le 3m^{2}+16$.