Để tìm giao điểm của hai đồ thị hàm số (P): y = ax^2 (a≠0) và (D): y = ax + b ta làm như sau:
– Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D): cho 2 vế phải của 2 hàm số bằng nhau → đưa về phương trình bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0.
– Giải phương trình hoành độ giao điểm:
+ Nếu $ \Delta $ > 0 ⇒ PT có 2 nghiệm phân biệt ⇒ (D) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
+ Nếu $ \Delta $ = 0 ⇒ PT có nghiệm kép ⇒ (D) và (P) tiếp xúc nhau.
+ Nếu $ \Delta $ < 0 ⇒ PT vô nghiệm ⇒ (D) và (P) không giao nhau.
VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tìm giao điểm của đồ thị hàm số $y = \dfrac{1}{4}x^2$ $(P)$ và $y = x – 1$ $(d)$
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là: $\dfrac{1}{4}x^2=x-1$
$\dfrac{1}{4}x^2-x+1=0$ (1)
⇔ $x^2-4x+4=0$
$\Delta= (-4)^2-4 \cdot 1\cdot 4=0$
Phương trình (1) có nghiệm kép $ x_1=x_2= 2$
Với $ x=2$ thì $ y=1$
Đồ thị Parabol $(P)$ và đường thẳng $(d)$ tiếp xúc tại điểm $(2;1)$
Ví dụ 2: Tìm giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^2$ $ (P)$ và $y = 2x – 1$ $(d)$
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là: $ x^2=2x-1$
$\Leftrightarrow x^2-2x+1=0$ (1)
$\Delta= (-2)^2-4 \cdot 1\cdot 1=0$
Phương trình (1) có nghiệm kép $ x_1=x_2= 1$
Với $ x=1$ thì $ y=1$
Đồ thị Parabol $(P)$ và đường thẳng $(d)$ tiếp xúc tại điểm $(1;1)$
Ví dụ 3: Tìm giao điểm của đồ thị hàm số $y = 2x^2$ $(P)$ và $y = -5x – 3$ $(d)$
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là: $2x^2=-5x-3$
$\Leftrightarrow 2x^2+5x+3=0$ (1)
$\Delta= 5^2-4 \cdot 2\cdot 3=1>0$
Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: $ x=\dfrac {-3}{2}$; $ x=-1$
Với $ x=\dfrac {-3}{2}$ thì $ y= \dfrac {9}{2}$
Với $ x=-1$ thì $ y= 2$
Đồ thị Parabol $(P)$ và đường thẳng $(d)$ tiếp xúc tại 2 điểm $\left(\dfrac {-3}{2};\dfrac {9}{2}\right)$ và $(-1;2)$
Ví dụ 3: Tìm giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^2$ $(P)$ và $y = x – 1$ $(d)$
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là: $ x^2=x-1$
$\Leftrightarrow x^2-x+1=0$ (1)
$ \Delta =(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot 1=-3 <0$
Phương trình (1) vô nghiệm.
Đồ thị Parabol $(P)$ và đường thẳng $(d)$ không cắt nhau.