I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1. Định nghĩa
Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng:
$a t+b=0$
Trong đó, $a, b$ là các hằng số $(a \neq 0)$ và $t$ là một trong các hàm số lượng giác.
2. Cách giải
Chia cả hai vế cho $a$ ta được được (1) vè phương trình lượng giác cơ bản.
Ví dụ:
$2 \cos x-\sqrt{3}=0$
$\displaystyle\Leftrightarrow 2 \cos x=\sqrt{3}$
$\displaystyle\Leftrightarrow \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \frac{\pi}{6}$
$\displaystyle\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi}{6}+k 2 \pi$
3. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
Ví dụ:
$5 \sin x-\sin 2 x=0$
$\displaystyle\Leftrightarrow 5 \sin x-2 \sin x \cos x=0$
$\displaystyle\Leftrightarrow \sin x(5-2 \cos x)=0$
$\displaystyle\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\sin x=0 \\ 5-2 \cos x=0\end{array}\right.$
$\displaystyle\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\sin x=0 \\ \cos x=\frac{5}{2}\left(Vo nghiem vi \frac{5}{2}>1\right) \\ \Leftrightarrow x=k \pi, k \in Z\end{array}\right.$
II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1. Định nghĩa
Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng
$a t^{2}+b t+c=0 \quad(a \neq 0)$
Trong đó $a, b, c$ là các hằng số và $t$ là một trong số các hàm số lượng giác.
2. Cách giải
– Đặt ẩn phụ và điều kiện cho ẩn (nếu có).
– Giải phương trình với ẩn phụ.
– Từ đó giải phương trình lượng giác cơ bản.
Ví dụ:
$\displaystyle\tan ^{2} x-\tan x-2=0$
Đặt $t=\tan x$ thì $(1)$ là:
$t^{2}-t-2=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t=-1 \\ t=2\end{array}\right.$
$\displaystyle\Rightarrow\left[\begin{array}{l}\tan x=-1 \\ \tan x=2\end{array}\right.$
$\displaystyle\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi}{4}+k \pi \\ x=\arctan 2+k \pi\end{array}, k \in Z\right.$
III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI $\displaystyle\sin x$ VÀ $\displaystyle\cos x$
Xét phương trình $a \sin x+b \cos x=c$
+) Chia hai vế phương trình cho $\displaystyle\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
+) Gọi $\displaystyle\alpha$ là góc lượng giác tạo bới chiều dương của trục hoành với vecto $\displaystyle\overrightarrow{O M}=(a ; b)$ thì phương trình trở thành một phương trình đã biết cách giải:
$\displaystyle\sin (x+\alpha)=\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$
Chú ý: Để phương trình $\displaystyle\sin (x+a)=\frac{c^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ có nghiệm, điều kiện cần và đủ là
$\displaystyle\left|\frac{c^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right| \leq 1$
$\displaystyle\Leftrightarrow|c| \leq \sqrt{a^{2}+b^{2}}$
$\displaystyle\Leftrightarrow c^{2} \leq a^{2}+b^{2}$
Đó cũng là điều kiện cần và đủ để phương trình $a \sin x+b \cos x=c$ có nghiệm.