Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp- Bài toán đếm

1. Hoán vị

Cho $n$ phần tử khác nhau $(n \geq 1)$. Mỗi cách sắp thứ tự của $n$ phần tử đã cho, mà trong đó mỗi phần tử có mặt đúng một lần, được gọi là một hoán vị của $n$ phần tử đó.

Định lí

Số các hoán vị của $n$ phần tử khác nhau đã cho $(n \geq 1)$ được kí hiệu là $P_{n}$ và bằng:
$P_{n}=n(n-1)(n-2) \ldots 2.1=n !$

Ví dụ: Tính số cách xếp 6 bạn học sinh thành một hàng dọc.

Hướng dẫn:

Mỗi cách xếp 6 bạn học sinh thành một hàng dọc là một hoán vị của 6 phần tử.

Vậy số cách xếp 6 bạn học sinh thành một hàng dọc là $P_{6}=6 !=720$.

2. Chỉnh hợp

Định nghĩa

Cho tập hợp $A$ gồm $n$ phần tử $(n \geq 1)$.

Kết quả của việc lấy $k$ phần tử khác nhau từ $n$ phần tử của tập hợp $A$ và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử đã cho.

Chú ý:

Mỗi hoán vị của n phần tử khác nhau đã cho chính là một chỉnh hợp chập $n$ của $n$ phần tử đó.

Định lí

Số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là $A_{n}^{k}$ và bằng
$\displaystyle A_{n}^{k}=n(n-1) \ldots(n-k+1)=\frac{n !}{(n-k) !}(1 \leq k \leq n)$

Với quy ước $0 !=1$.

Ví dụ:

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số $1,2,3,4,5,6,7 ?$

Hướng dẫn:

Mỗi số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy 4 chữ số từ tập $A=\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7\}$ và xếp chúng theo một thứ tự nhất định.

Mỗi số như vậy được coi là một chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử.

Vậy số các số cần tìm là $A_{7}^{4}=840$ số.

3. Tổ hợp

Định nghĩa

Cho $n$ phần tử khác nhau $(n \geq 1)$. Mỗi tập con gồm $k$ phần tử khác nhau (không phân biệt thứ tự) của tập hợp $n$ phần tử đã cho $(0 \leq k \leq n)$ được gọi là một tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử đã cho (với quy ước tổ hợp chập 0 của n phần tử bất kỳ là tập rỗng).

Định lí

Số các tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là $C_{n}^{k}$ và bằng
$\displaystyle C_{n}^{k}=\frac{n !}{k !(n-k) !}=\frac{A_{n}^{k}}{k !},(0 \leq k \leq n)$

Ví dụ: Một bàn học sinh có 3 nam và 2 nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra 2 bạn để làm trực nhật?

Hướng dẫn:

Mỗi cách chọn ra 2 bạn để làm trực nhật là một tổ hợp chập 2 của 5 phần tử.

Vậy số cách chọn là: $C_{5}^{2}=10$ (cách)

Định lí

Với mọi $n \geq 1 ; 0 \leq k \leq n$, ta có:

a) $C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}$

b) $C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}$

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *