PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để chứng minh một điểm là trọng tâm của một tam giác, ta có thể dùng một trong hai cách sau:
– Chứng minh điểm đó là giao điểm của hai đường trung tuyến trong tam giác.
– Chứng minh điểm đó thuộc một đường trung tuyến của tam giác và thỏa mãn một trong các tỉ lệ về tính chất trọng tâm của tam giác.
BÀI TẬP MINH HỌA
3A. Cho $ \displaystyle \Delta $ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Lấy G thuộc cạnh AC sao cho AG = $ \displaystyle \dfrac{1}{3}$ AC. Tia DG cắt BC tại E. Qua E vẽ đường thẳng song song với BD, qua D vẽ đường thẳng song song với BC, hai đường thẳng này cắt nhau tại F. Gọi M là giao điểm của EF và CD.
Chứng minh:
a) G là trọng tâm $ \displaystyle \Delta $BCD;
b) $ \displaystyle \Delta $BED = $ \displaystyle \Delta $FDE, từ đó suy ra EC = DF;
c) $ \displaystyle \Delta $DMF = $ \displaystyle \Delta $CME;
d) B, G, M thẳng hàng.
3B. Cho $ \displaystyle \Delta $ABC. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = 2CM. Vẽ điểm D sao cho C là trung điểm của AD. Gọi N là trung điểm của BD, Chứng minh:
a) M là trọng tâm tam giác ABD;
b) Ba điểm A, M, N thẳng hàng;
c) Đường thẳng DM đi qua trung điểm của AB.
4A. Cho $ \displaystyle \Delta $ABC với đường trung tuyến AD. Trên tia AD lấy điểm E sao cho AD = DE, trên tia BC lấy điểm M sao cho BC = CM. Chứng minh C là trọng tâm của $ \displaystyle \Delta $AEM.
4B. Cho $ \displaystyle \Delta $ABC. Trên đường trung tuyến AM của tam giác đó, lấy hai điểm D, E sao cho AD = DE = EM. Chứng minh E là trọng tâm của $ \displaystyle \Delta $ABC.
5A. Cho $ \displaystyle \Delta $ABC. Vẽ trung tuyến BM. Trên tia BM lấy hai điểm G, K sao cho BG = $ \displaystyle \dfrac{2}{3}$BM và G là trung điểm của BK. Gọi E là trung điểm CK; GE cắt AC tại I Chứng minh:
a) I là trọng tâm của $ \displaystyle \Delta $KGC; b) CI = $ \displaystyle \dfrac{1}{3}$
5B. Cho $ \displaystyle \Delta $ABC, M là trung điểm AC. Trên đoạn BM lấy điểm K sao cho KM = $ \displaystyle \dfrac{1}{2}$ KB. Điểm H thuộc tia đối của tia MK sao cho BH = 2BK. Gọi I là điểm thuộc cạnh AC và IC =$ \displaystyle \dfrac{1}{3}$ CA. Đường KI cắt HC ở E.
a) Chứng minh I là trọng tâm của $ \displaystyle \Delta $HKC và E là trung điểm của HC ở E
b) Tính các tỉ số $ \displaystyle \dfrac{{IE}}{{IK}},\dfrac{{IC}}{{MC}}$. Chứng minh ba điểm H, I, F thẳng hàng ( I là trung điểm KC)
6A. Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD. Đoạn thẳng AM, AN cắt BD lần lượt tại I và K. Chứng minh:
a) I là trọng tâm của $ \displaystyle \Delta $ABC và K là trọng tâm của $ \displaystyle \Delta $ADC;
b) BI = IK = KD.
6B. Cho tam giác ABC, đường trưng tuyến BD. Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE = BD. Gọi P, Q lần lượt là điểm trên BE sao cho BP = PQ = QE. Chứng minh:
a) CP, CQ cắt AB, AE tại trung điểm của AB,AE.
b) CP//AQ và CQ//AP.
HƯỚNG DẪN GIẢI
3A. a) Vì AD = AB nên A là trung điểm BD
=> CA là đường trung tuyến của $ \displaystyle \Delta $BCD
Mà AG = $ \displaystyle \dfrac{1}{3}$AC => G là trọng tâm $ \displaystyle \Delta $BCD
b) Ta có : BD || EF => $ \displaystyle \widehat{{BDE}}=\widehat{{DEF}}$
và DE // BC => $ \displaystyle \widehat{{BED}}=\widehat{{EDF}}$
=>$ \displaystyle \Delta $BED = $ \displaystyle \Delta $FDE (g.c. g) => BE = DF
(hai cạnh tương ứng) (1). Mặt khác do G là trọng tâm $ \displaystyle \Delta $BCD nên E là trung điểm BC
=> BE = EC (2).
Từ (1) và (2) suy ra EC = DF.
c) $ \displaystyle \Delta $DMF = $ \displaystyle \Delta $CME (g.c.g).
d) Do $ \displaystyle \Delta $DMF = $ \displaystyle \Delta $CME => MD = MC => M là trung điểm DC => BM là trung tuyến của $ \displaystyle \Delta $
=> G $ \displaystyle \in $BM => B, G, M thẳng hàng.
3B. Tương tự 3A.
a) M thuộc đường trung tuyến BC của $ \displaystyle \Delta $ABD mà BM = 2CM nên M là trọng tâm $ \displaystyle \Delta $ABD.
Do đó M thuộc trung tuyến AN.
=> Ba điểm A, M, N thẳng hàng.
b) DM là trung tuyến thứ ba của $ \displaystyle \Delta $ABD nên DM đi qua trung điểm của AB.
4A. Theo đề bài ta có AD = DE nên C thuộc MD là đường trung tuyến của tam giác AEM (1)
Mặt khác ta có BC = 2CD và BC = CM nên CM = 2CD (2)
Từ (1) và (2) suy ra C là trọng tâm của $ \displaystyle \Delta $AEM.
4B. Từ giả thiết AD = DE = EM ta có AE = $ \displaystyle \dfrac{2}{3}$AM.
Mà E thuộc trung tuyến AM nên E là trọng tâm của $ \displaystyle \Delta $ABC.
5A. a) Theo đề bài BG = $ \displaystyle \dfrac{2}{3}$BM. Suy ra BG = 2GM => GK = 2GM
=> M là trung điểm GK.
Do đó I là giao điểm ba đường trung btuyến trong $ \displaystyle \Delta $KGC.
b) I là trọng tâm $ \displaystyle \Delta $KGC nên
CI = $ \displaystyle \dfrac{2}{3}$CM= $ \displaystyle \dfrac{2}{3}$. $ \displaystyle \dfrac{1}{2}$AC = $ \displaystyle \dfrac{1}{3}$AC.
5B. Tương tự 5A.
a) M là trung điểm KH. Suy ra I là trọng tâm của $ \displaystyle \Delta $ Suy ra KI là trung tuyến $ \displaystyle \Delta $KHC.
b) $ \displaystyle \dfrac{{IE}}{{IK}}=\dfrac{1}{2},\dfrac{{IC}}{{MC}}=\dfrac{2}{3}$. Suy ra HI cũng là trung tuyến $ \displaystyle \Delta $KHC.
6A. a)$ \displaystyle \Delta $ABC có hai đường trung BO, AM cắt nhau tại I nên I là trọng tâm của $ \displaystyle \Delta $ABC .
Tương tự ta có K là trọng tâm của $ \displaystyle \Delta $ADC.
b) Từ ý a) suy ra ta có:
BI =$ \displaystyle \dfrac{2}{3}$ BO, DK = $ \displaystyle \dfrac{2}{3}$DO
Mặt khác BO = DO
=> BI = DK = $ \displaystyle \dfrac{2}{3}$BO = $ \displaystyle \dfrac{1}{3}$BD => IK = $ \displaystyle \dfrac{1}{3}$BC. Suy ra ĐPCM.
Do đó BI = IK = KD.
6B. Tương tự 6A.
a) Chứng minh được P,Q lần lượt là trọng tâm $ \displaystyle \Delta $ABC, $ \displaystyle \Delta $AEC. Suy ra ĐPCM.
b) Chú ý $ \displaystyle \Delta $ADP = $ \displaystyle \Delta $CQD và $ \displaystyle \Delta $ADQ = $ \displaystyle \Delta $CDP.
