Để tính được nguyên hàm của hàm số lượng giác các em cần phải thuộc công thức lượng giác đã học và các công thức nguyên hàm lượng giác.
Công thức nguyên hàm lượng giác cơ bản:
$\int \sin a x \cdot d x=-\dfrac{\cos a \cdot x}{a}+C$
$\int \cos a x \cdot d x=\dfrac{\sin a \cdot x}{a}+C$
$\int \dfrac{1}{\cos ^{2} x} d x=\tan x+C$
$\int \dfrac{1}{\sin ^{2} x} d x=-\cot x+C$
Cách tính nguyên hàm lượng giác
Vận dụng các công thức nêu trên vào giải các bài tập tính nguyên hàm lượng giác có lời giải ngay dưới đây.
Bài 1: Nguyên hàm của hàm số $f(x) = 4cos4x$ là
$ \begin{array}{*{20}{l}} {\text{ A}\text{. }\sin 4x+C} & {\text{ B}\text{. }-\dfrac{1}{4}\sin 4x+C} & {\text{ C}\text{. }-4\sin 4x+C} & {\text{ D}\text{. }-\sin 4x+C} \end{array}$
Giải:
$\int f(x) d x=\int 4 \cos 4 \mathrm{x}=4 \int \cos 4 x=4 \cdot \dfrac{1}{4} \sin 4 x+C=\sin 4 x+C$
⇒ Chọn đáp án A.
Bài 2: Tính $\int \sin ^{2} x \mathrm{d} x,$ kết quả là:
A. $ x-\dfrac{\sin 2 x}{2}+C$
B. $ 2 x+\dfrac{\sin 2 x}{4}+C$
C. $\dfrac{x}{2}-\dfrac{\sin 2 x}{4}+C$
D. Kết quả khác
Giải:
Ta có:
$\int \sin ^{2} x \mathrm{d} x=\int \dfrac{1-\cos 2 \mathrm{x}}{2} d x=\int \dfrac{1}{2} d x-\int \dfrac{\cos 2 \mathrm{x}}{2} d x=\dfrac{x}{2}-\dfrac{\sin 2 x}{4}+C$
⇒ Chọn đáp án C.
Bài 3: Tính $\int(\cos 6 x-\cos 4 x) \mathrm{d} x$, kết quả là:
A. $-\dfrac{1}{6} \sin 6 x+\dfrac{1}{4} \sin 4 x+C$
B. $6 \sin 6 x-5 \sin 4 x+C$.
C. $\dfrac{1}{6}\sin 6x-\dfrac{1}{4}\sin 4x+C$
D. $-6 \sin 6 x+\sin 4 x+C$
Giải:
$\int(\cos 6 x-\cos 4 x) d x$
$=\int \cos 6 x d x-\int \cos 4 x d x$
$=\dfrac{1}{6} \sin 6 x-\dfrac{1}{4} \sin 4 x+C$
⇒ Chọn đáp án C.
Bài 4: Một nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx . cosx là:
A. $-\dfrac{1}{2} \cos 2 x+C$
B. $-\cos x \cdot \sin x+C$
C. $\cos 2 x+\sin 2 x+C$
D. $-\dfrac{1}{4} \cos 2 x+C$
Giải:
$I=\int \sin x \cdot \cos x \mathrm{d} x=\int \dfrac{\sin 2 x}{2} d x$
$=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{-\cos 2 x}{2}+C$
$=\dfrac{-1}{4} \cos 2 x+C$
⇒ Chọn đáp án D.
Bài 5: Một nguyên hàm của hàm số f(x)= cos5x. cosx là:
A. $\cos 6 x$
B. $\sin 6 x$.
C. $\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{6} \sin 6 x+\dfrac{1}{4} \sin 4 x\right) \cdot$
D. $-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sin 6 x}{6}+\dfrac{\sin 4 x}{4}\right)$
Giải:
$ I=\int \cos 5 x \cdot \cos x \mathrm{d} x$
$=\int \dfrac{1}{2}(\cos 6 x+\cos 4 x) \mathrm{d} x$
$=\dfrac{1}{2} \int \cos 6 x \mathrm{d} x+\dfrac{1}{2} \int \cos 4 x \mathrm{d} x$
$=\dfrac{1}{12} \sin 6 x+\dfrac{1}{8} \sin 4 x+C$
⇒ Chọn đáp án C.