Hướng dẫn học sinh lớp 9 giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số qua các bài tập có hướng dẫn giải.
Bài 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số
Hướng dẫn
Nhận xét x = 0 không thỏa mãn phương trình (2) nên ta có thể suy ra $ y+1=\dfrac{{x^{2}-1}}{x}$ (3)
Thay (3) vào (1) ta được
$ x^{2}\cdot \dfrac{{x^{2}-1}}{x}(x+\dfrac{{x^{2}-1}}{x})=3x^{2}-4x+1\Leftrightarrow (x-1)(x+1)(2x^{2}-1)=(x-1)(3x-1)$
$ \Leftrightarrow (x-1)(2x^{3}+2x^{2}-4x)=0\Leftrightarrow 2x(x-1)^{2}(x+2)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0\\x=1\\x=-2\end{array} \right.$
Bài 2: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số
Hướng dẫn
Điều kiện: x ≥ 1 và y ≥ 0
(1) <=> (x² – xy – 2y²) – (x + y) = 0 <=> (x + y)(x – 2y) – (x + y) = 0
<=> (x + y)(x – 2y – 1) = 0 (3)
Vì x + y > 0 theo điều kiện trên nên (3) <=> x = 2y + 1 (4)
Thay (4) vào (2) ta có: $ (2y+1)\sqrt{{2y}}-y\sqrt{{2y}}=2(2y+1)-2y$
$ \Leftrightarrow (y+1)\sqrt{{2y}}=2(y+1)\Leftrightarrow \sqrt{{2y}}=2$ (5) vì y + 1 > 0
(5) <=> y = 2 suy ra x = 5
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (5; 2)
Bài 3: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số
Hướng dẫn
Biến đổi phương trình (2) thành y² – 4(x + 2)y – 5x² + 16x + 16 = 0 với y là ẩn, x là tham số
Khi đó Δ’ = 4(x + 2)² – (–5x² + 16x + 16) = 9x²
Nhận xét Δ’ có dạng bình phương của một biểu thức bậc nhất theo x nên nghiệm của (2) có dạng
y = 2(x + 2) + 3x = 5x + 4 (a) hoặc y = 2(x + 2) – 3x = –x + 4 (b)
Thay (a) vào (1) ta có: (5x + 4)² = (5x + 4)(4 – x) <=> x = –4/5 hoặc x = 0
Thay (b) vào (1) ta có: (4 – x)² = (5x + 4)(4 – x) <=> x = 4 hoặc x = 0
Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm (–4/5; 0); (0; 4) và (4; 0)
Bài 4: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số
Hướng dẫn
Ta thấy y = 0 không thỏa mãn phương trình (1) nên chia 2 vế các phương trình cho y ta được
$ \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{x^{2}+1}}{y}+y+x=4\\\dfrac{{x^{2}+1}}{y}(y+x-2)=1\end{array} \right.$ (*)
Đặt $ a=\dfrac{{x^{2}+1}}{y}$ và b = y + x – 2 ta được
$ \left\{ \begin{array}{l}a+b=2\\ab=1\end{array} \right.\Leftrightarrow a=b=1$
Từ đó ta có hệ phương trình sau
$ \left\{ \begin{array}{l}x^{2}+1=y\\x+y=3\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=1\\y=2\end{array} \right.\vee \left\{ \begin{array}{l}x=-2\\y=5\end{array} \right.$
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (1; 2) và (–2; 5)
Bài 5: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số
Hướng dẫn
Cộng phương trình (1) và (2) theo vế và rút gọn ta được
$ \dfrac{{2xy}}{{\sqrt[3]{{x^{2}-2x+9}}}}+\dfrac{{2xy}}{{\sqrt[3]{{y^{2}-2y+9}}}}=x^{2}+y^{2}$ (3)
Vì x² – 2x + 9 = (x – 1)² + 8 ≥ 8 và y² – 2y + 9 = (y – 1)² + 8 ≥ 8
Nên VT ≤ $ \dfrac{{2xy}}{{\sqrt[3]{8}}}+\dfrac{{2xy}}{{\sqrt[3]{8}}}=2xy$ ≤ x² + y² = VP
Phương trình (3) <=> x = y (4)
*Download file Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.docx bằng cách click vào nút Tải về dưới đây.