Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 9 quận Ba Đình, thành phố Hà Nội, năm học 2022-2023. Thời gian làm bài 150 phút.
Ngày thi 29 tháng 11 năm 2022. Hình thức thi tự luận gồm 5 bài.
Đáp án Đề thi HSG Toán 9 quận Ba Đình năm 2022-2023
Bài IV
Cho tam giác \(ABC\) nhọn (\(AB<AC\)) nội tiếp đường tròn \((O)\). Các đường cao \(AD,BE,CF\) đồng quy tại \(H\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), và \(AK\) là đường kính.
- Chứng minh \(H,M,K\) thẳng hàng.
- Gọi \(P=AK\cap BE\), \(Q=AD\cap BK\). Chứng minh \(\angle BAD=\angle CAK\) và \(\triangle AEP\sim\triangle BDQ\).
- Chứng minh \(DE\) đi qua trung điểm của \(PQ\).
Gợi ý lời giải ý 2: Vì \(\triangle AOC\) cân, \(\angle CAK=90^\circ-\dfrac{1}{2}\angle AOC=90^\circ-\angle ABD=\angle BAD\). Xét \(\triangle AEP\) và \(\triangle BDQ\): \(\angle AEP=\angle BDQ=90^\circ\), đồng thời \(\angle PAE=\angle QBD\). Suy ra hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc–góc.
Gợi ý lời giải ý 3: Dùng điểm \(S\) đối xứng với \(Q\) qua \(D\), kết hợp các tứ giác nội tiếp để suy ra \(SP\parallel DE\). Vì \(DS=DQ\), đường thẳng \(DE\) đi qua trung điểm của \(PQ\).
