Dựa vào hệ quả của định lý Vi-ét học ở chương trình Toán lớp 9 chúng ta có thể tìm được 2 số khi biết tổng và tích của chúng.
Phương pháp như sau:
Nếu 2 có Tổng bằng $S$ và Tích bằng $P$ thì hai số đó là hai nghiệm của Phương trình:
$ \displaystyle {{x}^{2}}-Sx+P=0$ (Điều kiện để có hai số đó là $S^{2}-4 P \geq 0$ )
Ví dụ: Tìm hai số $a, b$ biết tổng $S = a + b = -3$ và tích $P = ab = -4$
Vì $a + b = -3$ và $ab = -4$ nên $a, b$ là nghiệm của Phương trình : $ \displaystyle {{x}^{2}}+3x-4=0$
giải Phương trình trên ta được $ \displaystyle {{x}_{{^{1}}}}=1$ và $ \displaystyle {{x}_{2}}=-4$
Vậy nếu $a = 1$ thì $b = -4$
nếu $a = -4$ thì $b = 1$
Bài tập áp dụng:
Tìm 2 số $a$ và $b$ biết Tổng $S$ và Tích $P$
1. $S = 3 $và $P = 2$
2. $S = -3$ và $P = 6$
3. $S = 9$ và $P = 20$
4. $S = 2x$ và $P=x^{2}-y^{2}$
Bài tập nâng cao:
Tìm 2 số a và b biết
1. $a + b = 9$ và $a^{2}+b^{2}=41$
2. $a – b = 5$ và $ab = 36$
3. $a^{2}+b^{2}=61$ và $ab = 30$
Hướng dẫn giải:
1) Theo đề bài đó biết tổng của hai số $a$ và $b$, vậy để áp dụng hệ thức VI- ÉT thì cần Tìm tích của $a$ và $b$.
Từ $\displaystyle a+b=9\Rightarrow {{\left( {a+b} \right)}^{2}}=81\Leftrightarrow {{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}=81$
⇔ $\displaystyle ab=\frac{{81-\left( {{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \right)}}{2}=20$
Suy ra: $a, b$ là nghiệm của Phương trình có dạng :
$ \displaystyle {{x}^{2}}-9x+20=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=4\\{{x}_{2}}=5\end{array} \right.$
Vậy: Nếu $a = 4$ thì $b = 5$
nếu $a = 5$ thì $b = 4$
2) Biết tích: $ab = 36$ do đó cần Tìm tổng : $a + b$
Cách 1: Đặt $c = -b$ ta có : $a + c = 5$ và $a.c = -36$
Suy ra $a, c$ là nghiệm của Phương trình : $ \displaystyle {{x}^{2}}-5x-36=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=-4\\{{x}_{2}}=9\end{array} \right.$
Do đó nếu $a = -4$ thì $c = 9$ nên $b = -9$
nếu $a = 9$ thì $c = -4$ nên $b = 4$
Cách 2: Từ $ \displaystyle {{\left( {a-b} \right)}^{2}}={{\left( {a+b} \right)}^{2}}-4ab\Rightarrow {{\left( {a+b} \right)}^{2}}={{\left( {a-b} \right)}^{2}}+4ab=169$
$ \displaystyle \Rightarrow {{\left( {a+b} \right)}^{2}}={{13}^{2}}\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a+b=-13\\a+b=13\end{array} \right.$
*) Với $ \displaystyle a+b=-13$ và ab = 36, nên a, b là nghiệm của Phương trình:
$ \displaystyle {{x}^{2}}+13x+36=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=-4\\{{x}_{2}}=-9\end{array} \right.$
Vậy $a = -4$ thì $b = -9$
*) Với $ \displaystyle a+b=13$ và ab = 36, nên a, b là nghiệm của Phương trình:
$ \displaystyle {{x}^{2}}-13x+36=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=4\\{{x}_{2}}=9\end{array} \right.$
Vậy $a = 9$ thì $b = 4$
3) Đó biết $ab = 30$, do đó cần Tìm $a + b$:
Từ: $a^{2}+b^{2}=61$
$ \displaystyle \Rightarrow {{\left( {a+b} \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2ab=61+2.30=121={{11}^{2}}$$ \displaystyle \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a+b=-11\\a+b=11\end{array} \right.$
*) Nếu $ \displaystyle a+b=-11$ và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của Phương trình: $ \displaystyle {{x}^{2}}+11x+30=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=-5\\{{x}_{2}}=-6\end{array} \right.$
Vậy nếu $a = -5$ thì $b = -6$ ; nếu $a = -6$ thì $b = -5$
*) Nếu $ \displaystyle a+b=11$ và $ab = 30$ thì $a, b$ là hai nghiệm của Phương trình:
$ \displaystyle {{x}^{2}}-11x+30=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=5\\{{x}_{2}}=6\end{array} \right.$
Vậy nếu $a = 5$ thì $b = 6$ ; nếu $a = 6$ thì $b = 5$.