PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Với các hệ phương trình
$\left\{\begin{array}{l}\sin x \pm \sin y=m \\ x \pm y=\alpha\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{l}\cos x \pm \cos y=m \\ x \pm y=\alpha\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{l}\tan x \pm \tan y=m \\ x \pm y=\alpha\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{l}\cot x \pm \cot y=m \\ x \pm y=\alpha\end{array}\right.$
Ta chuyển tổng $f(x) \pm f(y)=m$ thành tích bằng một trong các công thức
$\sin x+\sin y=2 \sin \dfrac{x+y}{2} \cos \dfrac{x-y}{2}$
$\sin x-\sin y=2 \cos \dfrac{x+y}{2} \sin \dfrac{x-y}{2}$
$\cos x+\cos y=2 \cos \dfrac{x+y}{2} \cos \dfrac{x y}{2}$
$\cos x-\cos y=-2 \sin \dfrac{x+y}{2} \sin \dfrac{x-y}{2}$
$\tan x \pm \tan y=\dfrac{\sin (x+y)}{\cos x \cos y}$
*Chú ý: Cách giải chung là nếu biết tổng $x+y$ thì tìm hiệu $x-y$ thay ngược lại, bằng các công thức biến đổi, tức là:
– Ta đi biến đổi phương trình $f(x) \pm f(y)=m \Leftrightarrow g_{1}(x+y) \cdot g_{2}(x-y)=m_{1} \quad(*)$
– Từ đó thay phương trình $x \pm y=\alpha$ vào (*) để tìm biểu thức còn lại.
BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI
Bài 1: Cho hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}\cos x+\cos y=m \\ x-y=\dfrac{2 \pi}{3}\end{array}\right.$
a) Giải hệ phương trình với $m=-\dfrac{1}{2}$
b) Tìm $\mathrm{m}$ để hệ có nghiệm.
Giải:
Biến đổi (1) về dạng:
$\begin{aligned} & 2 \cos \dfrac{x+y}{2} \cos \dfrac{x-y}{2}=m \\ \Leftrightarrow & 2 \cos \dfrac{x+y}{2} \cos \dfrac{\pi}{3}=m \\ \Leftrightarrow & \cos \dfrac{x+y}{2}=m \end{aligned}$
a) Với $m=-\dfrac{1}{2}$, ta được:
$(3) \Leftrightarrow \cos \dfrac{x+y}{2}=-\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{x+y}{2}=\pm \dfrac{2 \pi}{3}+2 k \pi \Leftrightarrow x+y=\pm \dfrac{4 \pi}{3}+4 k \pi$
Do đó hệ phương trình tương đương với
$ \displaystyle \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x+y=\dfrac{{4\pi }}{3}+4k\pi } \\ {x-y=\dfrac{{2\pi }}{3}} \end{array}} \right.} \\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x+y=-\dfrac{{4\pi }}{3}+4k\pi } \\ {x-y=\dfrac{{2\pi }}{3}} \end{array}} \right.} \end{array}\quad \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x=\pi +2k\pi } \\ {y=\dfrac{\pi }{3}+2k\pi } \end{array}} \right.} \\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x=-\dfrac{\pi }{3}+2k\pi } \\ {y=-\pi +2k\pi } \end{array}\quad (k\in Z)} \right.} \end{array}} \right.} \right.$
b) Hệ có nghiệm $\Leftrightarrow(3)$ có nghiệm $\Leftrightarrow|m| \leq 1$.
Bài 2: Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\sin x+\cos y=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ x-y=-\dfrac{\pi}{4}\end{array}\right.$
Giải
Biến đổi (1) về dạng
$\begin{aligned} & \sin x+\sin \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \Leftrightarrow & 2 \sin \left(\dfrac{x-y}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right) \cdot \cos \left(\dfrac{x+y}{2}-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \Leftrightarrow & \sin \dfrac{\pi}{8} \cdot \cos \left(\dfrac{x+y}{2}-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned}$
Ta có
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\cos \dfrac{\pi}{4}=1-2 \sin ^{2} \dfrac{\pi}{8} \Leftrightarrow \sin \dfrac{\pi}{8}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$
$=2 \cos ^{2} \dfrac{\pi}{8}-1 \Leftrightarrow \cos \dfrac{\pi}{8}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$
Khi đó:
$(3) \Leftrightarrow \cos \left(\dfrac{x+y}{2}-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2} \sqrt{2-\sqrt{2}}}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}=\cos \dfrac{\pi}{8}$
$\Leftrightarrow \dfrac{x+y}{2}-\dfrac{\pi}{4}=\pm \dfrac{\pi}{8}+2 k \pi$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x+y=\dfrac{3 \pi}{4}+4 k \pi \\ x+y=\dfrac{\pi}{4}+4 k \pi\end{array}\right.$
Do đó hệ phương trình tương đương với
$\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x+y=\dfrac{3 \pi}{4}+4 k \pi \\ x-y=-\dfrac{\pi}{4}\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x+y=\dfrac{\pi}{4}+4 k \pi \\ x-y=-\dfrac{\pi}{4}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{\pi}{4}+2 k \pi \\ y=\dfrac{\pi}{2}+2 k \pi\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=2 k \pi \\ y=\dfrac{\pi}{4}+2 k \pi\end{array}\right.\end{array} \quad(k \in Z)\right.\right.\end{array}\right.$