Mục lục
PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ
1) Sử dụng:
+ Quy tắc 3 điểm: $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{B C}$ với mọi $A, B, C$.
+ Quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A C}$ với $ABCD$ là hình bình hành.
+ Quy tắc trung điểm: $\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}=2 \overrightarrow{M I}$ với $I$ là trung điểm của $A B$.
+ Quy tắc trọng tâm: $\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}=\overrightarrow{0}$ với $G$ là trong tâm tam giác $A B C$.
+ Các tính chất của các phép toán.
2) Thực hiện các phép biến đổi theo một trong các hướng sau:
+ Biến đổi vế này thành vế kia của đẳng thức (thông thường là xuất phát từ vế phức tạp biến đổi rút gọn để đưa về vế đơn giản hơn).
+ Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về tương đương với một đẳng thức luôn đúng.
+ Xuất phát từ một đẳng thức luôn đúng để biến đổi về đẳng thức cần chứng minh.
– Chú ý: $\Delta A B C$ và $\Delta A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ có cùng trong tâm khi và chi $\mathrm{khi} \overline{A A^{\prime}}+\overline{B B^{\prime}}+\overline{C C^{\prime}}=\overrightarrow{0}$
VÍ DỤ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ
Ví dụ 1: Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng:
a) $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C B}$
b) $\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{B D}$
Cách 1: Biến đổi vế trái (VT) ta có:
$V T=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}=(\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{D B})+(\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{B D}) \quad=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{D B}+\overrightarrow{B D} \quad=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{0}$
$=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C B}=V P$
Nhận xét Sử dụng cách giải này, ta cần chú ý khi bién đổi các số hạng của một vế cần quan tâm phân tích làm xuất hiện các số hạng có ở vế bên kia. Chẳng hạn số hạng ở vế trái là $\overrightarrow{A B}$ nhưng vế phải có chứa $\overrightarrow{A D}$ nên ta viết $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{D B}$
Cách 2: Ta có:
$\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C B}(1) \Leftrightarrow \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{C B}-\overrightarrow{C D} \Leftrightarrow \overrightarrow{D B}=\overrightarrow{D B}(2)$
Ta có (2) luôn đúng vậy (1) được chứng minh.
Cách 3: Ta có:
$\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D A}=\overrightarrow{0}$
Suy ra $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}=-\overrightarrow{D A}-\overrightarrow{B C}$
Do đó: $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C B}$
b) Ta có:
$VT=\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{C D}=(\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C B})-(\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{B D})=\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{B D}+\overrightarrow{C B}-\overrightarrow{C B}=\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{B D}=VP$
Tương tự ta cũng có các cách chứng minh khác cho câu b.
Ví dụ 2: Cho tam giác $A B C$ và $G$ là trong tâm tam giác $A B C$.
a) Chứng minh rằng: $\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}=3 \overrightarrow{M G}$
b) Tìm tập hợp điểm $M$ sao cho $\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}=0$
$\begin{array}{llll}\text { a) } & \text { Ta } & \text { có: } & \overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C} & =(\overrightarrow{M G}+\overrightarrow{G A})+(\overrightarrow{M G}+\overrightarrow{G B})+(\overrightarrow{M G}+\overrightarrow{G C})\end{array}$
$=3 \overrightarrow{M G}+(\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C})=3 \overrightarrow{M G}+\overrightarrow{0}=3 \overrightarrow{M G}$
b) $\mathrm{Vi} \overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}=\overrightarrow{0}$
$3 \overrightarrow{M G}=\overrightarrow{0}$ hay $\overrightarrow{M G}=\overrightarrow{0}$ do do $M \equiv G$
Suy ra tập hợp $M$ thỏa mắn $\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}=\vec{O}$ là $\{G\}$.
BÀI TẬP CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ
Bài 1. Cho tứ diện $ ABCD$. Gọi $ M$ và $ N$ lần lượt là trung điểm $ AB$ và $ CD.$ Chứng minh:
a) $ \displaystyle 2\overrightarrow{{MN}}=\overrightarrow{{AD}}+\overrightarrow{{BC}}=\overrightarrow{{AC}}+\overrightarrow{{BD}}$
b) Điểm $ G$ là trọng tâm của tứ diện $ ABCD$ khi và chỉ khi $ \displaystyle \overrightarrow{{GA}}+\overrightarrow{{GB}}+\overrightarrow{{GC}}+\overrightarrow{{GD}}=\overrightarrow{0}$
Bài 2: Cho tứ diện $ ABCD$ với $ G$ là trọng tâm.
a) Chứng minh $ \overrightarrow{{AB}}+\overrightarrow{{AC}}+\overrightarrow{{AD}}=4\overrightarrow{{AG}}$
b) Gọi $ {A}’$ là trọng tâm tam giác $ BCD$. Chứng minh: $\overrightarrow{{{A}’B}}.\overrightarrow{{A{A}’}}+\overrightarrow{{{A}’C}}.\overrightarrow{{A{A}’}}+\overrightarrow{{{A}’D}}.\overrightarrow{{A{A}’}}=\vec{0}$
Bài 3: Cho hình hộp $ ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$. Gọi $ {{D}_{1}}$, $ {{D}_{2}}$, $ {{D}_{3}}$ lần lượt là điểm đối xứng của điểm $ {D}’$ qua $ A$ , $ {B}’$, $ C$. Chứng tỏ rằng $ B$ là trọng tâm của tứ diện $ {{D}_{1}}{{D}_{2}}{{D}_{3}}{D}’.$
Bài 4: Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Gọi $D_{1}, D_{2}, D_{3}$ lần lươt là điềm đối xứng của điểm D’ qua $A, B^{\prime}, C .$ Chúng tỏ rằng $B$ là trọng tâm của tứ diện $D_{1} D_{2} D_{3} D^{\prime}$
Bài 5: Cho hình chóp $ S.ABCD$. Chứng minh rằng nếu $ ABCD$ là hình bình hành thì $ \overrightarrow{{SB}}+\overrightarrow{{SD}}=\overrightarrow{{SA}}+\overrightarrow{{SC}}$
Gọi O là giao điểm của AC và BD . Chứng tỏ rằng $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{{SA}}+\overrightarrow{{SB}}+\overrightarrow{{SC}}+\overrightarrow{{SD}}=4\overrightarrow{{SO}}$