Mục lục
Ngoài những cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng đã biết, lên lớp 10 chúng ta biết thêm 1 cách chứng minh ba điểm thẳng hàng nữa đó là dùng phương pháp vectơ.
Vectơ là công cụ hữu ích để chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong chương trình Toán lớp 10.
Lý thuyết 3 điểm thẳng hàng trong vectơ
Ba điểm thẳng hàng là 3 điểm cùng nằm trên một đường thẳng. Vì vậy:
Trong vectơ, 3 điểm $A, B, C$ thẳng hàng ⇔ $ \displaystyle \overrightarrow{{AB}}=k\overrightarrow{{AC}},k\in R$.
Hướng dẫn sử dụng vectơ chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Phương pháp:
– Sử dụng các quy tắc biến đổi vectơ đã biết.
– Xác định vectơ $ \overrightarrow{AB}$ và $ \overrightarrow{AC}$ thông qua các tổ hợp trung gian.
* Chú ý:
– Cho ba điểm $A, B, C$. Điều kiện cần và đủ để $A, B, C$ thẳng hàng là:
– $ \overrightarrow{MC}=\alpha \overrightarrow{MA}+(1-\alpha )\overrightarrow{MB}$
Với điểm $M$ tùy ý và số thực $ \alpha $ bất kì.
Đặc biệt khi $ 0\le \alpha \le 1$ thì $C$ thuộc đoạn $AB$.
Ứng dụng vectơ chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Bài toán 1: Cho hình bình hành ABCD, I là trung điểm của cạnh BC và E là điểm thuộc đường chéo AC thỏa mãn tỉ số $ \dfrac{A\text{E}}{AC}=\dfrac{2}{3}$. Chứng minh ba điểm D, E, I thẳng hàng.
Giải
Ta có: $ \overrightarrow{DI}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CI}$
$ \Rightarrow $ $ \overrightarrow{DI}=\overrightarrow{DC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}$ (1)
$ \overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE}$
Theo giả thiết, ta suy ra:
$ \overrightarrow{CE}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{C\text{D}}+\overrightarrow{DA})$
$ \Rightarrow $ $ \overrightarrow{CE}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{C\text{D}}+\overrightarrow{DA})=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{C\text{D}}+\overrightarrow{CB})$
Từ đây ta có:
$ \overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DC}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{C\text{D}}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CB}$
$ \Rightarrow $ $ \overrightarrow{DE}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{DC}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CB}$
$ \Rightarrow $ $ \overrightarrow{DE}=\dfrac{2}{3}(\overrightarrow{DC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB})$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: $ \overrightarrow{DE}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{DI}$
Vậy ba điểm D, E, I thẳng hàng.
Bài toán 2: Cho $ \Delta $ABC. Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của $ \Delta $ABC. CMR O, G, H thẳng hàng.
Giải
Ta có:
$ \overrightarrow{OG}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$ (1)
Gọi E là trung điểm BC và $ {{A}_{1}}$ là điểm đối xứng với A qua O, ta được:
$ \left\{ \begin{matrix}BH\parallel C{{A}_{1}}(c\text{ }\!\!\grave{\mathrm{u}}\!\!\text{ ng}\bot AC) \\CH\parallel B{{A}_{1}}(c\text{ }\!\!\grave{\mathrm{u}}\!\!\text{ ng}\bot AB) \\\end{matrix} \right.$
$ \displaystyle \Rightarrow {{A}_{1}}BHC$ là hình bình hành
$ \displaystyle \Rightarrow {{A}_{1}}$, E, H thẳng hàng $ \displaystyle \Rightarrow $$ D$
Ta có:
$ \overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
$ \displaystyle \overrightarrow{{OG}}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{{OH}}\Leftrightarrow O,G,H$ thẳng hàng.
Bài toán 3: Cho ba dây cung song song $ A{{A}_{1}},B{{B}_{1}},C{{C}_{1}}$ của đường tròn (O). Chứng minh rằng trực tâm của ba tam giác $ AB{{C}_{1}},BC{{A}_{1}},CA{{B}_{1}}$ nằm trên một đường thẳng.
Giải
Gọi $ {{H}_{1}},{{H}_{2}},{{H}_{3}}$ lần lượt là trực tâm của các tam giác $ AB{{C}_{1}},BC{{A}_{1}},CA{{B}_{1}}$
Ta có:
$ \begin{array}{l}\overrightarrow{O{{H}_{1}}}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{O{{C}_{1}}}\\\overrightarrow{O{{H}_{2}}}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{O{{A}_{1}}}\\\overrightarrow{O{{H}_{3}}}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{O{{B}_{1}}}\end{array}$
Suy ra:
$ \overrightarrow{{{H}_{1}}{{H}_{2}}}=\overrightarrow{O{{H}_{2}}}-\overrightarrow{O{{H}_{1}}}$
$ \begin{array}{l}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{O{{C}_{1}}}+\overrightarrow{O{{A}_{1}}}-\overrightarrow{OA}\\=\overrightarrow{{{C}_{1}}C}+\overrightarrow{A{{A}_{1}}}\end{array}$
$ \overrightarrow{{{H}_{1}}{{H}_{3}}}=\overrightarrow{O{{H}_{3}}}-\overrightarrow{O{{H}_{1}}}$
$ \begin{array}{l}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{O{{C}_{1}}}+\overrightarrow{O{{B}_{1}}}-\overrightarrow{OB}\\=\overrightarrow{{{C}_{1}}C}+\overrightarrow{B{{B}_{1}}}\end{array}$
Vì các dây cung $ A{{A}_{1}},B{{B}_{1}},C{{C}_{1}}$ song song với nhau
Nên ba vectơ $ \overrightarrow{A{{A}_{1}}},\overrightarrow{B{{B}_{1}}},\overrightarrow{C{{C}_{1}}}$ có cùng phương
Do đó hai vectơ $ \overrightarrow{{{H}_{1}}{{H}_{2}}}v\text{ }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }\overrightarrow{{{H}_{1}}{{H}_{3}}}$ cùng phương hay ba điểm $ {{H}_{1}},{{H}_{2}},{{H}_{3}}$ thẳng hàng.
Bài tập chứng minh 3 điểm thẳng hàng lớp 10
Bài 1: Cho $ \Delta ABC$. Đường tròn nội tiếp $ \Delta ABC$ tiếp xúc với AB, AC theo thứ tự tại M, N. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AC và BC. Tìm điểm P thuộc EF sao cho M, N, P thẳng hàng.
Bài 2: Cho $ \Delta ABC$ với O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Các đường thẳng $ {{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}},{{\Delta }_{3}}$ đôi một song song nhau lần lượt qua các điểm A, B, C và có giao điểm thứ hai với đường tròn (O) theo thứ tự là $ {{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}}$. Chứng minh trực tâm của ba tam giác $ AB{{C}_{1}},BC{{A}_{1}},CA{{B}_{1}}$ thẳng hàng.
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của D qua điểm A, F là điểm đối xứng của tâm O của hình bình hành qua điểm C và K là trung điểm của đoạn OB. Chứng minh ba điểm E, K, F thảng hàng và K là trung điểm của EF.
Bài 4: Cho tam giác ABC và M, N lần lượt là trung điểm AB, AC. Gọi P, Q là trung điểm MN và BC. CMR : A, P , Q thẳng hàng.