Các bài toán đưa về tổng bình phương $ A^{2}+B^{2}=0$

NỘI DUNG BÀI VIẾT

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1) Bình phương của một tổng, hiệu

$ (A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}$

$ (A-B)^{2}=A^{2}-2AB+B^{2}$

2) Bình phương của một đa thức

$ \left( {a+b+c} \right)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$

3) Lập phương của một tổng ba số, tổng các lập phương của ba số

$ \begin{array}{l}\left( {a+b+c} \right)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3\left( {a+b} \right)\left( {b+c} \right)\left( {c+a} \right)\\a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=\left( {a+b+c} \right)\left( {a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca} \right)\end{array}$

4) Lũy thừa bậc bốn, bậc năm của một nhị thức

$ \begin{array}{l}\left( {a+b} \right)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}\\\left( {a+b} \right)^{5}=a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}\end{array}$

5) Với số nguyên dương n, ta có

$ a^{n}-b^{n}=\left( {a-b} \right)\left( {a^{{n-1}}+a^{{n-2}}b+a^{{n-3}}b^{2}+…+ab^{{n-2}}+b^{{n-1}}} \right)$

6) Với số lẻ n, ta có

$ a^{n}+b^{n}=\left( {a+b} \right)\left( {a^{{n-1}}-a^{{n-2}}b+a^{{n-3}}b^{2}-…-ab^{{n-2}}+b^{{n-1}}} \right)$

BÀI TẬP

Bài 1: Cho các số thực $ x;y$ thỏa mãn: $ x^{2}+y^{2}+1=xy-x-y$. Tính $ A_{1}=\dfrac{1}{{xy}}+2\left( {x+y} \right)$.

Hướng dẫn

Ta có $ x^{2}+y^{2}+1=xy-x-y$$ \Rightarrow x^{2}+2x+1+y^{2}+2y+1+x^{2}-2xy+y^{2}=0$

$ \Rightarrow \left( {x+1} \right)^{2}+\left( {y+1} \right)^{2}+\left( {x-y} \right)^{2}=0$$ \Rightarrow x=y=-1\Rightarrow A_{1}=-3$.

Bài 2: Cho các số thực $ x;y$ thỏa mãn: $ 4x^{2}+8y^{2}-8xy+4y+1=0$. Tính $ A_{2}=\dfrac{{1+x+y}}{{xy}}$.

Hướng dẫn

Ta có $ 4x^{2}+8y^{2}-8xy+4y+1=0$$ \Rightarrow 4\left( {x-y} \right)^{2}+\left( {2y+1} \right)^{2}=0$.

$ \Rightarrow x=y=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow A_{2}=0$.

Bài 3: Cho các số thực $ x;y$ thỏa mãn: $ x^{4}+2y^{2}-17x^{2}-2xy+90=6y$. Tính $ A_{3}=x+2y$.

Hướng dẫn

Ta có $ x^{4}+2y^{2}-17x^{2}-2xy+90=6y$$ \Rightarrow \left( {x^{2}-9} \right)^{2}+\left( {y-3} \right)^{2}+\left( {x-y} \right)^{2}=0$

$ \Rightarrow x=y=3\Rightarrow A_{3}=9$.

Bài 4: Cho các số thực $ x;y$ thỏa mãn: $ 3x^{2}+y^{2}+2xy-16x-4y+22=0$. Tính $ A_{4}=\dfrac{1}{{xy}}$.

Hướng dẫn

Ta có $ 3x^{2}+y^{2}+2xy-16x-4y+22=0\Rightarrow \left( {x+y-2} \right)^{2}+2\left( {x-3} \right)^{2}=0$.

$ \Rightarrow x=3;y=-1\Rightarrow A_{4}=-\dfrac{1}{3}$.

Bài 5: Cho các số thực $ x;y;z$ thỏa mãn: $ 4x^{2}+2y^{2}+z^{2}+14=2\left( {xz+xy+5x+4y} \right)$.

Tính $ A_{5}=x+y+z$.

Hướng dẫn

Ta có $ 4x^{2}+2y^{2}+z^{2}+14=2\left( {xz+xy+5x+4y} \right)$

$ \Rightarrow \left( {x-2} \right)^{2}+\left( {x-2y} \right)^{2}+\left( {y-1} \right)^{2}+\left( {x+y-3} \right)^{2}+\left( {x-z} \right)^{2}=0$

$ \Rightarrow x=z=2;y=1\Rightarrow A_{5}=5$.

*Download file Bài tập tương tự kèm đáp án bằng cách click vào nút Tải về dưới đây.

Để lại một bình luận

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *