Để chứng minh hai đoạn thẳng hoặc hai góc bằng nhau ta ghép chúng vào 2 tam giác bằng nhau.
A. LÝ THUYẾT
B. BÀI TẬP
Bài 1: Cho \( \Delta ABC\) có AB < AC. Kéo dài từ B đến A thêm một đoạn AD bằng với đoạn AB. Kéo dài từ C đến A thêm một đoạn AE bằng với đoạn AC. So sánh BC và DE.
Bài 2: Cho \( \Delta ABC\) có AB < AC. Vẽ tia đối của tia AB, trên đó lấy điểm D sao cho AD = AC. Vẽ tia đối của tia AC, trên đó lấy điểm E sao cho AE = AB. So sánh \( \displaystyle \widehat{{ABC}}\) và \(\widehat{{AED}}\).
Bài 3: Cho \( \Delta ABC\). Có AM là đường trung tuyến. Lấy điểm I bất kỳ trên trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy E sao cho ME = MI. Chứng minh BI song song với CE.
Bài 4: Hai đoạn thẳng AD và BC cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn. Chứng minh AB bằng và song song với CD. Phát biểu kết quả tương tự.
Bài 5: Vẽ \( \widehat{{xAy}}\) và tia phân giác Ot. Trên Ox và Oy lần lượt lấy điểm A và B sao cho OA = OB. Trên Ot lấy điểm C sao cho OC > OA. Chứng minh CA = CB.
Bài 6: Trên cạnh Ax và Ay của \( \widehat{{xAy}}\) , lần lượt lấy B và C sao cho AB = AC. Tia phân giác At của \( \widehat{{xAy}}\) cắt BC tại D. Chứng minh
1) \( \widehat{{ABC}}=\widehat{{ACB}}\) 2) \( \widehat{{ADB}}=\widehat{{ADC}}=90^{0}\)
Bài 7: Vẽ \( \widehat{{xAy}}\) và tia phân giác At. Lấy điểm D trên At. Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với At và cắt Ox, Oy lần lượt ở B và C. Chứng minh AB = AC.
Bài 8: Trên cạnh Ax và Ay của \( \widehat{{xAy}}\) , lần lượt lấy các điểm B và C sao cho AB = AC. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh
1) \( \widehat{{ABC}}=\widehat{{ACB}}\) 2) \( \widehat{{AMB}}=\widehat{{AMC}}=90^{0}\)
Bài 9: Vẽ \( \widehat{{xAy}}\) và tia phân giác At. Lấy điểm D trên At. Vẽ đoạn thẳng DB vuông góc với Ax ở B. Lấy điểm C trên Ay sao cho AC = AB. Chứng minh DB = DC và DC vuông góc với Ay.
Bài 10: Lấy A nằm trong \( \widehat{{xOy}}<90^{0}\). Gọi M là trung điểm của OA. Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt Ox ở B và cắt Oy ở C.
1) Chứng minh BO = BA 2) Chứng minh CO = CA
Bài 11: Cho \( \Delta ABC\) nhọn có đường cao AH. Kéo dài AH thêm một đoạn HD bằng với HA.
1) Chứng minh BC là tia phân giác của \( \widehat{{ABD}}\)
2) So sánh \( \Delta ABC\,\,\,v\grave{a}\,\,\,\Delta DBC\)
Bài 12: Trên cùng phía của đường thẳng xy, vẽ hai đoạn thẳng AH và BK sao cho \( AH\bot xy\) ở H, \( BK\bot xy\) ở K và BK = AH. Gọi O là trung điểm của đoạn HK. Chứng minh: \( \widehat{{AOH}}=\widehat{{BOK}}\)
Bài 13: Trên cùng phía của đường thẳng xy, vẽ hai đoạn thẳng AH và BK sao cho \( AH\bot xy\) ở H, \( BK\bot xy\) ở K và BK = AH. Chứng minh:
1) \(AK = BH\) 2) \( \widehat{{KAB}}=\widehat{{HBA}}\)
Bài 14: Ở cùng phía của đoạn thẳng AB, vẽ \( \displaystyle \widehat{{BAx}}=\widehat{{ABy}}=120^{0}\). Trên tia Ax và By lần lượt lấy C và D sao cho AC = BD. Chứng minh
1) \(BC = AD\) 2) \( \widehat{{BCD}}=\widehat{{ADC}}\)
Bài 15: Cho \( \widehat{{xAy}}\). Trên cạnh Ax lấy điểm B và D (B nằm giữa A và D). Trên cạnh Ay lấy C và E sao cho AC = AB, AE = AD. Chứng minh BE = CD.
Bài 16: Trên cạnh Ax và Ay của \( \widehat{{xAy}}\), lần lượt lấy B và C sao cho AB = AC. Vẽ tia \( Bt\bot Ax\) và cắt Ay ở H. Vẽ tia \( Cz\bot Ay\) và cắt Ax ở E. Chứng minh AH = AE.
Bài 17: Cho \( \Delta ABC\) có AB = AC. Chứng minh \( \widehat{{ABC}}=\widehat{{ACB}}\)
Bài 18: Vẽ \( \Delta ABC\) có AB = AC và \( \widehat{{BAC}}<90^{0}\). Từ đỉnh A vẽ tia vuông góc với AB và cắt BC kéo dài ở D. Từ đỉnh A vẽ tia vuông góc với AC và cắt CB kéo dài ở E. Chứng minh:
1) \( \widehat{{ABC}}=\widehat{{ACB}}\) 2) BD = CE
Bài 19: Cho \( \widehat{{xOy}}\) nhọn có tia phân giác Ot. Trên cạnh Oy lấy hai điểm B và C sao cho OB < OC. Trên cạnh Ox lấy điểm A sao cho OA = OB. AC cắt Ot ở M.
1) Chứng minh \( \widehat{{OAM}}=\widehat{{OBM}}\)
2) BM kéo dài cắt Ox ở D. Chứng minh OC = OD
3) Gọi I là trung điểm của CD. Có nhận xét gì về tia OI? Chứng minh ba điểm O, M, I thẳng hàng.
Bài 20: Cho hai đường thẳng a // b. Lấy điểm A thuộc a và điểm B thuộc b. Gọi O là trung điểm của AB. Vẽ đường thẳng qua O cắt a và b lần lượt tại I và K. Chứng minh O cũng là trung điểm của IK.
Bài 21: Cho đoạn thẳng AB. Vẽ đường thẳng xy // AB. Lấy điểm C trên xy sao cho BC không vuông góc với xy. Lấy điểm D trên xy sao cho AD // BC. Chứng minh AB = CD và BC = AD.
Bài 22: Ở hai phía của đường thẳng xy, vẽ hai đoạn thẳng AH và BK dài bằng nhau và cùng vuông góc với xy tại H và tại K. Gọi O là trung điểm của HK. Chứng minh: \( \widehat{{AOH}}=\widehat{{KOB}}\) rồi chứng minh ba điểm A, O, B thẳng hàng.
Bài 23: Ở cùng phía của đường thẳng xy, vẽ hai đoạn thẳng AH và BK dài bằng nhau và cùng vuông góc với xy tại H và tại K. Gọi O là trung điểm của AK. Chứng minh: \( \widehat{{AOH}}=\widehat{{KOB}}\) rồi chứng minh ba điểm H, O, B thẳng hàng.
Bài 24: Cho tam giác ABC. Vẽ tia Bx // AC và tia Cy // AB ao cho Bx cắt Cy tại D. Gọi O là trung điểm của BC.
1) Chứng minh \(AB = CD\)
2) Chứng minh \( \widehat{{AOB}}=\widehat{{DOC}}\) rồi chứng minh ba điểm A, O, D thẳng hàng.
Bài 25: Cho \( \Delta ABC\) có \( \widehat{{ABC}}=\widehat{{ACB}}\) và có đường phân giác AD.
1) \( \widehat{{ADB}}\) và \( \widehat{{ADC}}\) là góc ngoài của những tam giác nào? Chứng minh \( \widehat{{ADB}}=\widehat{{ADC}}\)
2) Chứng minh AB = AC
Xem thêm Chuyên đề Hình học THCS để hệ thống lại kiến thức và luyện các dạng bài liên quan.