Giai đoạn 1 – Đầu học kì I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Cực trị của hàm số giúp học sinh lớp 12 nắm chắc phương pháp, luyện đúng dạng bài và trình bày lời giải theo chương trình Kết nối tri thức hiện hành.
Kiến thức cần ghi nhớ
- Điểm $x_0$ là điểm cực đại hoặc cực tiểu khi hàm số đổi chiều đơn điệu qua $x_0$.
- Nếu $f’$ đổi dấu từ dương sang âm qua $x_0$ thì $x_0$ là điểm cực đại; đổi từ âm sang dương thì là điểm cực tiểu.
- Phương trình $f'(x)=0$ chỉ cho điểm nghi ngờ cực trị; phải xét dấu hoặc dùng tiêu chuẩn thích hợp.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1
Tìm cực trị của $f(x)=x^3-3x$.
Cách làm: $f'(x)=3(x-1)(x+1)$. Qua $x=-1$, $f’$ đổi từ dương sang âm nên có cực đại $f(-1)=2$. Qua $x=1$, $f’$ đổi từ âm sang dương nên có cực tiểu $f(1)=-2$.
Bài tập thực hành
Tự làm các bài dưới đây trước khi mở lời giải.
- Tìm cực trị của $f(x)=x^2-4x+3$.
- Hàm $f(x)=x^3$ có cực trị không?
- Tìm cực trị của $f(x)=-x^2+2x+1$.
- Nếu $f'(x_0)=0$ thì có chắc $x_0$ là điểm cực trị không?
Bài tập về nhà
- Tìm cực trị của $f(x)=x^3-6x^2+9x$.
- Tìm cực trị của $f(x)=x^4-2x^2$.
- Nêu dấu hiệu cực tiểu qua đạo hàm.
Xem lời giải
Xem lời giải bài tập thực hành
- Cách làm: $f'(x)=2x-4$ đổi từ âm sang dương tại $x=2$, nên hàm có cực tiểu bằng $f(2)=-1$.
- Cách làm: $f'(x)=3x^2\ge0$ và không đổi dấu qua $0$, nên không có cực trị.
- Cách làm: $f'(x)=-2x+2$ đổi từ dương sang âm tại $x=1$, nên cực đại bằng $f(1)=2$.
- Cách làm: Không. Cần kiểm tra sự đổi dấu của đạo hàm hoặc tiêu chuẩn khác.
Xem lời giải bài tập về nhà
- Cách làm: $f’=3(x-1)(x-3)$. Đạo hàm đổi $+ o-$ tại $1$ nên cực đại $f(1)=4$; đổi $- o+$ tại $3$ nên cực tiểu $f(3)=0$.
- Cách làm: $f’=4x(x^2-1)$. Xét dấu tại $-1,0,1$ để được cực tiểu ở $x=\pm1$ với giá trị $-1$, cực đại ở $x=0$ với giá trị $0$.
- Cách làm: $f’$ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm đó.
Gợi ý học: Tự giải trước, sau đó mở lời giải để đối chiếu phương pháp, công thức và cách trình bày.