Mục lục
Kí hiệu K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.
1. Định nghĩa
Hàm số $y=f(x)$ đồng biến (tăng) trên $K$ ⇔ $\forall \mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2} \in \mathrm{K}, \mathrm{x}_{1}<\mathrm{x}_{2}$ thì $f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{2}\right)$.
Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến (giảm) trên $K$ ⇔ $\forall x_{1}, x_{2} \in K, x_{1}<x_{2}$ thì $f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{2}\right)$.
2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu
Cho hàm số $f$ có đạo hàm trên $K$.
– Nếu $f$ đồng biến trên $K$ thì $f^{\prime}(x) \geq 0$ với mọi $x \in \mathbb{K}$.
– Nếu $f$ nghịch biến trên $K$ thì $f^{\prime}(x) \leq 0$ với mọi $x \in \mathbb{K}$.
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu
Cho hàm số $f$ có đạo hàm trên $K$.
– Nếu $f^{\prime}(x)>0$ với mọi $x \in K$ thì $f$ đồng biến trên $K$.
– Nếu $f^{\prime}(x)<0$ với mọi $x \in K$ thì $f$ nghịch biến trên $K$.
– Nếu $f^{\prime}(x)=0$ với mọi $x \in K$ thì $f$ là hàm hằng trên $K$.
Định lý mở rộng
– Nếu $f^{\prime}(x) \geq 0$ với mọi $x \in K$ và $f^{\prime}(x)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc $K$ thì f đồng biến trên $K$.
– Nếu $f^{\prime}(x) \leq 0$ với mọi $x \in K$ và $f^{\prime}(x)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc $K$ thì f nghịch biến trên $K$.
4. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số
i) Tìm tập xác định
ii) Tính đạo hàm $f^{\prime}(x)$. Tìm các điểm $x_{i}(i=1,2, \ldots, n)$ mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
iii) Sắp xếp các điểm $\mathrm{x}_{\mathrm{i}}$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
iv) Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.