Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên khoảng $(a ; b)$ và điểm $x_{0} \in(a ; b)$.
– Nếu tồn tại số $h>0$ sao cho $f(x)<f\left(x_{0}\right), \forall x \in\left(x_{0}-h ; x_{0}+h\right), x \neq x_{0}$ thì ta nói hàm số $f$ đạt cực đại tại $x_{0}$.
1. Định nghĩa
– Nếu tồn tại số $h>0$ sao cho $f(x)>f\left(x_{0}\right), \forall x \in\left(x_{0}-h ; x_{0}+h\right), x \neq x_{0}$ thì ta nói hàm số $\mathrm{f}$ đạt cực tiểu tại $\mathrm{x}_{0}$.
2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
Định lí 1. Cho hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ liên tục trên khoảng $\mathrm{K}=\left(\mathrm{x}_{0}-\mathrm{h} ; \mathrm{x}_{0}+\mathrm{h}\right)(\mathrm{h}>0)$ và
có đạo hàm trên $\mathrm{K}$ hoặc trên $\mathrm{K} \backslash\left\{\mathrm{x}_{0}\right\}$.
+) Nếu $\left\{\begin{array}{l}f^{\prime}(x)>0,\ \forall x\in\left(x_{0}-h ; x_{0}\right) \\ f^{\prime}(x)<0,\ \forall x\in\left(x_{0} ; x_{0}+h\right)\end{array}\right.$ thì $x_{0}$ là điểm cực đại của hàm số
+) Nếu $\left\{\begin{array}{l}f^{\prime}(x)<0,\ \forall x\in\left(x_{0}-h ; x_{0}\right) \\ f^{\prime}(x)>0,\ \forall x\in\left(x_{0} ; x_{0}+h\right)\end{array}\right.$ thì $x_{0}$ là điểm cực tiểu của hàm số
Định lí 2. Cho hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ có đạo hàm cấp hai trên khoảng $ \displaystyle \text{K}=(\text{x}_{0}-\text{h};\text{x}_{0}+\text{h)}$ ($h>0$).
– Nếu $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0, f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)>0$ thì $x_{0}$ là điểm cực tiểu của hàm số $f$.
– Nếu $\mathrm{f}^{\prime}\left(x_{0}\right)=0, f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)<0$ thì $x_{0}$ là điểm cực đại của hàm số $f$.
3. Quy tắc tìm cực trị
Quy tắc 1
– Tìm tập xác định.
– Tính $\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})$. Tìm các điểm tại đó $\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})$ bằng 0 hoặc $\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})$ không xác định.
– Lập bảng biến thiên.
– Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Quy tắc 2
– Tìm tập xác định.
– Tính $f^{\prime}(x)$. Tìm các nghiệm $x_{i}$ của phương trình $f^{\prime}(x)=0$.
– Tính $f^{\prime \prime}(x)$ và $f^{\prime \prime}\left(x_{i}\right)$ suy ra tính chất cực trị của các điểm $x_{i}$.
(Chú ý: nếu $\mathrm{f}^{\prime \prime}\left(x_{i}\right)=0$ thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị tại $x_{i}$ ).