LÝ THUYẾT
– Để chứng minh hai mặt phẳng song song trong không gian ta chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng trong mặt phẳng kia.
– Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau.
BÀI TẬP
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD.
a) Chứng minh (OMN) // (SBC).
b) Gọi P, Q là trung điểm của AB, ON. Chứng minh PQ // (SBC).
Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là hai điểm di động lần lượt trên các cạnh AD, BC sao cho luôn có: $ \displaystyle \frac{{IA}}{{ID}}=\frac{{JB}}{{JC}}$.
a) CMR: IJ luôn song song với 1 mặt phẳng cố định.
b) Tìm tập hợp điểm M chia đoạn IJ theo tỉ số k cho trước.
Hướng dẫn: a) IJ song song với mp qua AB và song song CD.
b) Tập hợp điểm M là đoạn EF với E, F là các điểm chia AB, CD theo tỉ số k.
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD.
a) CMR: (OMN) // (SBC).
b) Gọi I là trung điểm của SD, J là một điểm trên (ABCD) và cách đều AB, CD. Chứng minh IJ song song (SAB).
c) Giả sử hai tam giác SAD, ABC đều cân tại A. Gọi AE, AF là các đường phân giác trong của các tam giác ACD và SAB. Chứng minh EF // (SAD).
Hướng dẫn: c) Chú ý: $ \displaystyle \frac{{ED}}{{EC}}=\frac{{FS}}{{FB}}$
Bài 4: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho: AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần lượt cắt AD, AF tại M¢, N¢.
a) Chứng minh: (CBE) // (ADF).
b) Chứng minh: (DEF) // (MNN’M’).
c) Gọi I là trung điểm của MN, tìm tập hợp điểm I khi M, N di động.
Hướng dẫn: c) Trung tuyến tam giác ODE vẽ từ O.
Bài 5: Cho hai nửa đường thẳng chéo nhau Ax, By. M và N là hai điểm di động lần lượt trên Ax, By sao cho AM = BN. Vẽ $ \displaystyle \overrightarrow{{NP}}=\overrightarrow{{BA}}$.
a) Chứng minh MP có phương không đổi và MN luôn song song với 1 mặt phẳng cố định.
b) Gọi I là trung điểm của MN. CMR I nằm trên 1 đường thẳng cố định khi M, N di động.
Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD. Chứng minh rằng: các đường phân giác ngoài của các góc đồng phẳng.
Hướng dẫn: Cùng nằm trong mặt phẳng qua A và song song với (BCD).