Hướng dẫn học sinh lớp 12 viết PT đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc 3.
Công thức nhanh của đường thẳng qua hai điểm cực trị
Với hàm số y = ax³ + bx² + cx + d, a khác 0, nếu phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt thì đồ thị có hai điểm cực trị. Thay vì giải y’ = 0 rồi tìm từng tọa độ, có thể chia f(x) cho f'(x). Phần dư là một đa thức bậc nhất và chính là phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.
Ta có:
f(x) = q(x)f'(x) + kx + m.
Tại mỗi nghiệm x của f'(x) = 0 thì f(x) = kx + m, vì vậy hai điểm cực trị đều nằm trên đường thẳng y = kx + m.
Ví dụ không cần giải phương trình đạo hàm
Xét f(x) = x³ − 3x + 2. Ta có f'(x) = 3x² − 3. Chia f(x) cho f'(x):
f(x) = (x/3)f'(x) + (−2x + 2).
Vì thế đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y = −2x + 2. Cách này đặc biệt hữu ích khi nghiệm của f'(x) phức tạp và tọa độ hai điểm cực trị không đẹp.
Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba dạng tổng quát và ví dụ minh họa dễ hiểu.
PHƯƠNG PHÁP
Cho hàm số bậc ba $y=f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d$.
Ta có y’ = f'(x) = 3ax² + 2bx + c.
Điều kiện để đạo hàm có hai nghiệm phân biệt là b² − 3ac > 0. Nếu $b^{2}-3 a c>0$ thì đồ thị hàm số có hai điểm cực trị. Ta cần viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị.
Có những trường hợp phương trình đạo hàm có nghiệm phức tạp, khiến việc tìm trực tiếp tọa độ hai điểm cực trị dài và dễ sai. Khi đó nên dùng phép chia đa thức để tìm ngay đường thẳng qua hai điểm cực trị.
Giả sử phương trình $f^{\prime}(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2} .$ Khi đó toạ độ hai điểm cực trị của đồ thị là $M\left(x_{1} ; f\left(x_{1}\right)\right), N\left(x_{2} ; f\left(x_{2}\right)\right)$.
Thực hiện phép chia $f(x)$ cho $f^{\prime}(x)$ và giả sử ta được thương $q(x)$ và dư là $r(x)=$ $k x+m$. Như vậy $f(x)=q(x) \cdot f^{\prime}(x)+r(x)$.
Xét đường thẳng $d: y=k x+m$.
Ta có $f\left(x_{1}\right)=q\left(x_{1}\right) \cdot f^{\prime}\left(x_{1}\right)+r\left(x_{1}\right)=r\left(x_{1}\right)$, bởi vì $f^{\prime}\left(x_{1}\right)=0$, do $x_{1}$ là điểm cực trị của hàm số.
Tương tự $f\left(x_{2}\right)=q\left(x_{2}\right) \cdot f^{\prime}\left(x_{2}\right)+r\left(x_{2}\right)=r\left(x_{2}\right)$, bởi vì $f^{\prime}\left(x_{2}\right)=0$, do $x_{2}$ là điểm cực trị của hàm số.
Như vậy toạ độ hai điểm $M, N$ thoả mãn phương trình $y=k x+m .$ Do đó đường thẳng $d: y=k x+m$ là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba.
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=$ $f(x)=x^{3}-2 x^{2}-x+1$
Giải.
Ta có $f^{\prime}(x)=3 x^{2}-4 x-1$. Thực hiện phép chia đa thức $f(x)$ cho $f^{\prime}(x)$ ta được thương là $\dfrac{1}{3} x-\dfrac{2}{9}$ và dư là $-\dfrac{14}{9} x-\dfrac{7}{9}$.
Từ đó phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $y=-\dfrac{14}{9}x-\dfrac{7}{9}$.
