Khi xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai có thể xảy ra các trường hợp sau: hai nghiệm trái dấu, cùng dấu ( cùng dương hoặc cùng âm).
Dấu của các nghiệm liên quan với Δ; S; P như thế nào?
Ta có bảng xét dấu sau:
| Dấu của hai nghiệm $ \displaystyle x_{1};x_{2}$ | Điều kiện | |||
| $ \displaystyle \Delta $ | S | P | ||
| Trái dấu | $ \displaystyle x_{1}x_{2}<0$ | > 0 | < 0 | |
| Cùng dấu | Cùng dương
($ \displaystyle x_{1}x_{2}>0$; $ \displaystyle x_{1}+x_{2}>0$) |
$ \displaystyle \ge $0 | > 0 | > 0 |
| Cùng âm
($ \displaystyle x_{1}x_{2}>0$; $ \displaystyle x_{1}+x_{2}<0$) |
$ \displaystyle \ge $0 | < 0 | > 0 | |
VÍ DỤ
Ví dụ 1: Không giải phương trình hãy cho biết dấu của các nghiệm?
$ \displaystyle a)5x^{2}+7x+1=0;\,\,\,\,b)x^{2}-13x+40=0;\,\,\,\,\,\,c)3x^{2}+5x-1=0$
Cách làm: Tính S; P theo hệ thức Vi – et rồi dựa theo bảng xét dấu trên
Giải:
a) $ \displaystyle P=x_{1}x_{2}=\dfrac{c}{a}$= $ \displaystyle \dfrac{1}{5}>0$ ; $ \displaystyle S=x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}$$ \displaystyle =-\dfrac{7}{5}<0$ nên hai nghiệm cùng dấu âm
Tương tự với phần b và c
b) P = 40 > 0; S= 13 > 0 nên hai nghiệm cùng dấu dương
c) $ \displaystyle P=-\dfrac{1}{3}<0$ nên hai nghiệm trái dấu
Ví dụ 2: Cho phương trình $ x^{2}-(m-1)x+m^{2}-m+2=0$ ( m là tham số)
Chứng minh rằng phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu với $ \forall $ m
Giải : Ta có $ ac=m^{2}-m+2=m^{2}-2\dfrac{1}{2}m+\dfrac{1}{4}+1\dfrac{3}{4}=(m-\dfrac{1}{2})^{2}+1\dfrac{3}{4}$
$ \left( {m-\dfrac{1}{2}} \right)^{2}\ge 0\Rightarrow \left( {m-\dfrac{1}{2}} \right)^{2}+1\dfrac{3}{4}\ge 1\dfrac{3}{4}\Rightarrow ac\ge 1\dfrac{3}{4}\Rightarrow P>0,\forall m$
Vậy phương trình có hai nghiệm cùng dấu với $ \forall $ m
Ví dụ 3: Xác định m để phương trình $ 2x^{2}-(3m+1)x+m^{2}-m-6=0$
có hai nghiệm trái dấu.
Giải:Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì:
$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\Delta >0\\P<0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m-7} \right)^{2}>0\\\dfrac{{m^{2}-m-6}}{2}<0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\forall m\ne 7\\(m-3)(m+2)<0\end{array} \right.\Leftrightarrow -2<m<3$
Vậy với -2 < m < 3 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho phương trình $ \displaystyle x^{2}-2(m-1)x+2m-3=0$ (1)
a) Chứng minh (1) luôn có nghiệm với mọi m;
b) Tìm giá trị của m để (1) có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm giá trị của m để (1) có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia
Bài 2: Cho phương trình $ \displaystyle x^{2}-5x+m=0$
a) Giải phương trình với m = 6;
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương.
Bài 3 : Xác định m để phương trình
a) $ mx^{2}-2(m+2)x+3(m-2)=0$ có hai nghiệm cùng dấu
b) $ (m-1)x^{2}-2x+m=0$ có ít nhất một nghiệm không âm
* Lưu ý: phần b: xét các trường hợp phương trình có:
+ hai nghiệm trái dấu ;
+ hai nghiệm cùng dương.