Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của phương trình bậc 2 không phụ thuộc tham số

Để tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc 2 không phụ thuộc tham số chúng ta lần lượt làm theo các bước sau:

+ Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm $ \displaystyle x_{1};x_{2}$ ($ \displaystyle a\ne 0;\Delta \ge 0$)

+ Viết hệ thức  $ \displaystyle S=x_{1}+x_{2};P=x_{1}x_{2}$

Nếu S và P không chứa tham số thì ta có hệ thức cần tìm

Nếu S và P chứa tham số  thì khử tham số từ S và P sau đó đồng nhất các vế ta được hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số.

VÍ DỤ

Ví dụ 1: Cho Phương trình $ \displaystyle mx^{2}-(2m+3)x+m-4=0$( m là tham số)

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm $ \displaystyle x_{1};x_{2}$

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa $ \displaystyle x_{1};x_{2}$ không phụ thuộc vào m

Giải:

a) Để phương trình có hai nghiệm $ \displaystyle x_{1};x_{2}$ thì:         $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}a\ne 0\\\Delta \ge 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m\ne 0\\28m+9\ge 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m\ne 0\\m\ge -\dfrac{9}{{28}}\end{array} \right.$

b) Theo định lí Vi-et ta có: $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x_{1}+x_{2}=\dfrac{{2m+3}}{m}=2+\dfrac{3}{m}(1)\\x_{1}x_{2}=\dfrac{{m-4}}{m}=1-\dfrac{4}{m}(2)\end{array} \right.$
$ \displaystyle \begin{array}{l}(1)\Rightarrow \dfrac{3}{m}=x_{1}+x_{2}-2\Rightarrow \dfrac{{12}}{m}=4(x_{1}+x_{2})-8(3)\\(2)\Rightarrow \dfrac{4}{m}=1-x_{1}x_{2}\Rightarrow \dfrac{{12}}{m}=3-3x_{1}x_{2}(4)\\\end{array}$

Từ (3) và (4) ta được:  $ \displaystyle 4(x_{1}+x_{2})-8=3-3x_{1}x_{2}$  hay  $ \displaystyle 4(x_{1}+x_{2})+3x_{1}x_{2}=11$

Ví dụ 2: Gọi $ \displaystyle x_{1};x_{2}$ là nghiệm của phương trình $ \displaystyle (m-1)x^{2}-2mx+m-4=0$

Chứng minh biểu thức $ \displaystyle A=3(x_{1}+x_{2})+2x_{1}x_{2}-8$ không phụ thuộc giá trị của m

Nhận xét: Bài toán này cho trước biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình nhưng về nội dung không khác Ví dụ 9.  Khi làm bài cần lưu ý:

+  Ta vẫn tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm

+ Biểu thức A có giá trị là một số xác định với mọi m thỏa mãn điều kiện

Cụ thể: Để phương trình có hai nghiệm $ \displaystyle x_{1};x_{2}$ thì  $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}a\ne 0\\\Delta \ge 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m-1\ne 0\\5m-4\ge 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m\ne 1\\m\ge \dfrac{4}{5}\end{array} \right.$

Theo định lí Vi-et ta có: $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x_{1}+x_{2}=\dfrac{{2m}}{{m-1}}\\x_{1}x_{2}=\dfrac{{m-4}}{{m-1}}\end{array} \right.$.

Thay vào A ta được:  $ \displaystyle A=3(x_{1}+x_{2})+2x_{1}x_{2}-8$ = $ \displaystyle 3.\dfrac{{2m}}{{m-1}}+2.\dfrac{{m-4}}{{m-1}}-8=\dfrac{0}{{m-1}}=0$

Vậy $ \displaystyle A=3(x_{1}+x_{2})+2x_{1}x_{2}-8$ = 0 với $ \displaystyle \forall m\ne 1$ và $ \displaystyle m\ge \dfrac{4}{5}$ hay biểu thức A không phụ thuộc vào m.

BÀI TẬP

Bài 1: Cho phương trình $ \displaystyle x^{2}-(m+2)x+2m-1=0$ có hai nghiệm $ \displaystyle x_{1};x_{2}$. Hãy lập hệ thức liên hệ giữa $ \displaystyle x_{1};x_{2}$sao cho chúng độc lập (không phụ thuộc) với m

Bài 2: ( Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2008 – 2009)

Cho phương trình $ \displaystyle x^{2}-2(m+1)x+m^{2}-1=0(1)$

a) Giải phương trình (1) khi m = 7

b) Tìm tất cả các giá trị m để (1) có nghiệm

c) Tìm hệ thức kiên hệ giữa hai nghiệm $ \displaystyle x_{1};x_{2}$ của (1) sao cho hệ thức đó không phụ thuộc tham số m