Phương pháp sử dụng đạo hàm tìm GTLN, GTNN:
Để sử dụng được đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức trước hết ta cần phải giảm số biến trong bài toán, tốt nhất là “dồn” được biểu thức 2 biến (hay 3 biến) ở đề bài về một biến. Từ đó, quy bài toán về việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (GTLN, GTNN) của hàm một biến trên đoạn [a;b]. Cụ thể, chúng ta thường làm bốn bước sau:
– Bước 1: Quan sát đề bài và các dữ kiện đã cho để xem bài toán có khả thi để đưa được về một biến hay không, nếu có thì biến đó phải là gì.
– Bước 2: Sau khi đã sự đoán được, chúng ta sẽ khai thác dữ kiện của bài toán, kết hợp với các bất đẳng thức quen thuộc để thiết lập điều kiện cho biến đó.
*Lưu ý: Bất đẳng thức thường dùng nhất ở bước này là bất đẳng thức Côsi.
– Bước 3: Sử dụng các hằng đẳng thức, BĐT phụ và những biến đổi tương đương để quy những đại lượng cần đánh giá theo ẩn đó.
– Bước 4: Khảo sát hàm số một biến thu được để tìm GTLN (GTNN), tùy theo yêu cầu của đề bài.
BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI
Dưới đây là các ví dụ áp dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức (tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất).
Ví dụ 1: Cho các số thực $a, b \in[1,2]$. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của:
$ \displaystyle P=\dfrac{{a^{2}}}{{a^{2}+ab+b^{2}}}$
Giải:
Do $b$ khác 0 nên ta chia cả tử và mẫu cho $b^{2}$, ta thu đươc:
$ \displaystyle P=\dfrac{{{\left( {\dfrac{a}{b}} \right)}^{2}}}{{{\left( {\dfrac{a}{b}} \right)}^{2}+\left( {\dfrac{a}{b}} \right)+1}}=\dfrac{{t^{2}}}{{t^{2}+t+1}},t\in \left[ {\dfrac{1}{2},2} \right]$
Vây ta đã đưa được bài toán hai biến về một biến. Tới đây, bài toán đã trở nên đơn giản hơn nhiều.
$ \displaystyle f^{\prime }(t)=\dfrac{{2t\left( {t^{2}+t+1} \right)-(2t+1)t^{2}}}{{{\left( {t^{2}+t+1} \right)}^{2}}}=\dfrac{{t(t+2)}}{{{\left( {t^{2}+t+1} \right)}^{2}}}>0.\forall t\in \left[ {\dfrac{1}{2},2} \right]$
Vậy $\mathrm{f}(\mathrm{t})$ là hàm đồng biến trên $ \displaystyle \left[ {\dfrac{1}{2},2} \right]$
Từ đó suy ra:
$ \displaystyle {\operatorname{Min}f(t)=f\left( {\dfrac{1}{2}} \right)=\dfrac{1}{7},\operatorname{Max}f(t)=f(2)=\dfrac{4}{7}}$
Với $ \displaystyle {t=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a=1\\b=2\end{array} \right.}$
Với $ \displaystyle {t=2\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a=2} \\ {b=1} \end{array}} \right.}$
Vậy Min $\mathrm{P}=1 / 7, \quad$ Max $\mathrm{P}=4 / 7$
Ví dụ 2: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn điều kiện $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức: $P=x+y+z+x y+y z+x z$.
Giải:
Ta có:
$ \displaystyle (x+y+z)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x y+2 y z+2 x z=>x y+y z+x z=\frac{(x+y+z)^{2}-\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}{2}=\frac{(x+y+z)^{2}-1}{2}$
Vậy $ \displaystyle\mathrm{P}=\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}+\frac{(x+y+z)^{2}-1}{2}=t+\frac{t^{2}-1}{2}$
Như vậy ta đã dồn biến xong rồi, giờ ta chỉ cần tìm miền xác định của $t$ nữa là bài toán trở nên khá đơn giản. Bằng cách sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta dễ dàng chứng minh được :
$ \displaystyle (x+y+z)^{2} \leq 3\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)=3.1=3$ $=-\sqrt{3} \leq x+y+z \leq \sqrt{3}$
hay: $ \displaystyle -\sqrt{3} \leq t \leq \sqrt{3}$
$ \displaystyle f(t)=t+\frac{t^{2}-1}{2}=\frac{t^{2}+2 t-1}{2}, t \in[-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$
Ta có: $ \displaystyle f^{\prime}(t)=\frac{2 t+2}{2}=t+1=0=>t=-1$.
Từ đó ta so sánh $\mathrm{f}(-1), f(-\sqrt{3}), f(\sqrt{3})$
….
Bài tập vận dụng
a. Cho $a, b, c$ dương thỏa $a+b+c<3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$ \displaystyle P=a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
b. Cho các số thực $a, b, c \in[1,2$ ]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$ \displaystyle P=\frac{(a+b)^{2}}{c^{2}+4(a b+b c+c a)}$