KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Phương pháp: Cần ôn tập để vận dụng tổng hợp các phép tính và các phép biến đổi đã học.
BÀI TẬP VÍ DỤ
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức: $\displaystyle\sqrt{6 x}+\sqrt{\frac{6}{x}}-\sqrt{\frac{2 x}{3}}$ với $x>0$.
Bài giải:
Với $x>0$, ta có:
$\displaystyle\sqrt{6 x}+\sqrt{\frac{6}{x}}-\sqrt{\frac{2 x}{3}}=\sqrt{6 x}+\sqrt{\frac{6 x}{x^{2}}}-\sqrt{\frac{6 x}{3^{2}}}$
$\displaystyle =\sqrt{6 x}+\frac{1}{x} \sqrt{6 x}-\frac{1}{3} \sqrt{6 x}$
$\displaystyle =\frac{2}{3} \sqrt{6 x}+\frac{1}{x} \sqrt{6 x}$
$\displaystyle =\sqrt{6 x}\left(\frac{2}{3}+\frac{1}{x}\right)$
Ví dụ 2: Giải phương trình: $2 \sqrt{3 x}-4 \sqrt{3 x}=27-3 \sqrt{3 x}$
Bài giải:
$2 \sqrt{3 x}-4 \sqrt{3 x}=27-3 \sqrt{3 x}$.
Điều kiện: $3 x \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 0$.
Khi đó (1): $\displaystyle\Leftrightarrow 2 \sqrt{3 x}-4 \sqrt{3 x}+3 \sqrt{3 x}=27$
$\displaystyle\Leftrightarrow \sqrt{3 x}(2-4+3)=27 \Leftrightarrow \sqrt{3 x}=27$
$\displaystyle\Leftrightarrow(\sqrt{3 x})^{2}=27^{2} \Leftrightarrow 3 x$
$\displaystyle =729 \Leftrightarrow x=243$ (nhận)
Vậy: $S =\{243\}$.
BÀI TẬP VẬN DỤNG
BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Thực hiện phép tính: $\displaystyle A=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+2}-\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}$
Bài giải:
$\displaystyle A=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+2}-\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}$
$\displaystyle =\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+2}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}(1+\sqrt{2})}+\frac{(\sqrt{2}+1)(1+\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2}) \sqrt{2}}$
$\displaystyle =\frac{\sqrt{2}-1-\sqrt{2}+3+2 \sqrt{2}}{\sqrt{2}+2}$
$\displaystyle =\frac{2+2 \sqrt{2}}{\sqrt{2}+2}$
$\displaystyle =\sqrt{2}$.
Bài 2: Rút gọn biểu thức sau: $\displaystyle B=\frac{1}{\sqrt{x}+2}-\frac{2}{\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}}{4-x}$
Bài giải:
Điều kiện xác định: $\displaystyle\left\{\begin{array}{l}x \geq 0 \\ x \neq 4\end{array}\right.$
Với điều kiện trên thì:
$\displaystyle B=\frac{1}{\sqrt{x}+2}-\frac{2}{\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}}{4-x}$
$\displaystyle =\frac{\sqrt{x}-2-2(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}+2) \cdot(\sqrt{x}-2)}+\frac{\sqrt{x}}{x-4}$
$\displaystyle =\frac{-\sqrt{x}-6+\sqrt{x}}{x-4}$
$\displaystyle =\frac{-6}{x-4}$
BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 1: Rút gọn biểu thức sau: $\displaystyle C=\frac{3 \sqrt{x}+1}{x+2 \sqrt{x}-3}-\frac{2}{\sqrt{x}+3}$.
Bài giải:
Điều kiện: $\displaystyle\left\{\begin{array}{l}x \geq 0 \\ x+2 \sqrt{x}-3 \neq 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \geq 0 \\ (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3) \neq 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \geq 0 \\ x \neq 1\end{array}\right.\right.\right.$
Với điều kiện trên thì:
$\displaystyle C=\frac{3 \sqrt{x}+1}{x+2 \sqrt{x}-3}-\frac{2}{\sqrt{x}+3}$
$\displaystyle =\frac{3 \sqrt{x}+1}{x+3 \sqrt{x}-\sqrt{x}-3}-\frac{2}{\sqrt{x}+3}$
$\displaystyle =\frac{3 \sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+3)-(\sqrt{x}+3)}-\frac{2}{\sqrt{x}+3}$
$\displaystyle =\frac{3 \sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-1)}-\frac{2}{\sqrt{x}+3}$
$\displaystyle =\frac{3 \sqrt{x}+1-2(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-1)}$
$\displaystyle =\frac{\sqrt{x}+3}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-1)}$
$\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{x}-1}$.
Bài 2: Rút gọn biểu thức sau: $\displaystyle D=\frac{\sqrt{x}+1}{x+4 \sqrt{x}+4}:\left(\frac{x}{x+2 \sqrt{x}}+\frac{x}{\sqrt{x}+2}\right)$
Bài giải:
Điều kiện: $x \geq 0$
Với điều kiện đó thì:
$\displaystyle D=\frac{\sqrt{x}+1}{x+4 \sqrt{x}+4}:\left(\frac{x}{x+2 \sqrt{x}}+\frac{x}{\sqrt{x}+2}\right)$
$\displaystyle =\frac{\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}+2)^{2}}:\left(\frac{x}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)}+\frac{x}{\sqrt{x}+2}\right)$
$\displaystyle =\frac{\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}+2)^{2}}:\left(\frac{\sqrt{x}+x}{\sqrt{x}+2}\right)$
$\displaystyle =\frac{\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}+2)^{2}} \cdot \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}$
$\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{\mathrm{x}}(\sqrt{\mathrm{x}}+2)}$