Giải một số bài toán bằng cách lập phương trình – Lớp 8

Hướng dẫn học sinh lớp 8 cách giải các dạng bài tập giải bài toán bằng cách lập phương trình.

DẠNG TOÁN TÌM 2 SỐ

Dạng toán tìm hai số biết tổng hoặc hiệu hoặc tỉ số

Bài 1: Hiệu hai số là 12. Nếu chia số bé cho 7 và lớn cho 5 thì thương thứ nhất lớn hơn thương thứ hai là 4 đơn vị. Tìm hai số đó.

Phân tích:

Có hai đại lượng tham gia vào bài toán, đó là số bé và số lớn.

Nếu gọi số bé là x thì số lớn biểu diễn bởi biểu thức nào?

Yêu cầu học sinh điền vào các ô trống còn lại ta có thương thứ nhất là $ \dfrac{x}{7}$, thương thứ hai là $ \dfrac{{x+12}}{5}$

Lời giải:

Gọi số bé là $x$.

Số lớn là: $x +12$.

Chia số bé cho 7 ta được thương là :$ \dfrac{x}{7}$.

Chia số lớn cho 5 ta được thương là: $ \dfrac{{x+12}}{5}$

Vì thương thứ nhất lớn hơn thương thứ hai 4 đơn vị nên ta có phương trình:

$ \dfrac{{x+12}}{5}$- $ \dfrac{x}{7}$= 4

Giải phương trình ta được $x = 28$

Vậy số bé là 28.

Số lớn là: 28 +12 = 40.

Dạng toán về tìm số sách trong mỗi giá sách, tìm tuổi, tìm số công nhân của phân xưởng

Bài 2: Hai thư viện có cả thảy 15000 cuốn sách. Nếu chuyển từ thư viện thứ nhất sang thứ viện thứ hai 3000 cuốn, thì số sách của hai thư viện bằng nhau. Tính số sách lúc đầu ở mỗi thư viện.

Phân tích:

Có hai đối tượng tham gia vào bài toán: Thư viện 1 và thư viện 2. Nếu gọi số sách lúc đầu của thư viện 1 là $x$, thì có thể biểu thị số sách của thư viện hai bởi biểu thức nào? Số sách sau khi chuyển ở thư viện 1, thư viện 2 biểu thị như thế nào?

Lời giải:

Gọi số sách lúc đầu ở thư viện I là x (cuốn), x nguyên, dương.

Số sách lúc đầu ở thư viện II là: 15000 – x (cuốn)

Sau khi chuyển số sách ở thư viện I là: $x – 3000$ (cuốn)

Sau khi chuyển số sách ở thư viện II là:

$(15000 – x)+ 3000 = 18000-x$  (cuốn)

Vì sau khi chuyển số sách 2 thư viện bằng nhau nên ta có phương trình:

$x – 3000 = 18000 – x$

Giải phương trình ta được: x = 10500 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy số sách lúc đầu ở thư viện I là 10500 cuốn.

Số sách lúc đầu ở thư viện II là: 15000 – 10500 = 4500 cuốn.

Bài 3: Số công nhân của hai xí nghiệp trước kia tỉ lệ với 3 và 4. Nay xí nghiệp 1 thêm 40 công nhân, xí nghiệp 2 thêm 80 công nhân. Do đó số công nhân hiện nay của hai xí nghiệp tỉ lệ với 8 và 11. Tính số công nhân của mỗi xí nghiệp hiện nay.

Phân tích:

Có hai đối tượng tham gia trong bài toán, đó là xí nghiệp 1 và xí nghiệp 2. Nếu gọi số công nhân của xí nghiệp 1 là x, thì số công nhân của xí nghiệp 2 biểu diễn bằng biểu thức nào? Học sinh điền vào các ô trống còn lại và căn cứ vào giả thiết: Số công nhân của hai xí nghiệp tỉ lệ với 8 và 11 để lập phương trình.

Lời giải:

Gọi số công nhân xí nghiệp I trước kia là x (công nhân), x nguyên, dương.

Số công nhân xí nghiệp II trước kia là $ \dfrac{4}{3}$x (công nhân).

Số công nhân hiện nay của xí nghiệp I là: x + 40 (công nhân).

Số công nhân hiện nay của xí nghiệp II là: $ \dfrac{4}{3}x+80$ (công nhân).

Vì số công nhân của hai xí nghiệp tỉ lệ với 8 và 11 nên ta có phương trình:

$ \dfrac{{x+40}}{8}=\dfrac{{\dfrac{4}{3}x+80}}{{11}}$

Giải phương trình ta được: x = 600 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy số công nhân hiện nay của xí nghiệp I là: 600 + 40 = 640 công nhân.

Số công nhân hiện nay của xí nghiệp II là: $ \dfrac{4}{3}$ .600 + 80 = 880 công nhân.

Bài 4: Tính tuổi của hai người, biết rằng cách đây 10 năm tuổi người thứ nhất gấp 3 lần tuổi của người thứ hai và sau đây hai năm, tuổi người thứ hai sẽ bằng một nửa tuổi của người thứ nhất.

Phân tích:

Có hai đối tượng tham gia vào bài toán: người thứ nhất và người thứ hai, có 3 mốc thời gian: cách đây 10 năm, hiện nay và sau 2 năm.Từ đó hướng dẫn học sinh cách lập bảng.

Nếu gọi số tuổi của người thứ nhất là x, có thể biểu thị số tuổi của người thứ nhất cách đây 10 năm và sau đây 2 năm. Sau đó có thể điền nốt các số liệu còn lại vào trong bảng. Sau đó dựa vào mối quan hệ về thời gian để lập phương trình.

Lời giải:

Gọi số tuổi hiện nay của người thứ nhất là $x$ (tuổi), $x$ nguyên dương.

Số tuổi người thứ nhất cách đây 10 năm là: $x – 10$ (tuổi).

Số tuổi người thứ hai cách đây 10 năm là: $ \dfrac{{x-10}}{3}$ (tuổi).

Sau đây 2 năm tuổi người thứ nhất là: $x + 2$ (tuổi).

Sau đây 2 năm tuổi người thứ hai là: $ \dfrac{{x=2}}{2}$ (tuổi).

Theo bài ra ta có phương trình phương trình như sau:

$ \dfrac{{x+2}}{2}=\dfrac{{x-10}}{3}+10+2$

Giải phương trình ta được: x = 46 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy số tuổi hiện nay của ngườ thứ nhất là: 46 tuổi.

Số tuổi hiện nay của người thứ hai là: $ \dfrac{{46+2}}{2}-2=12$ tuổi.

Dạng toán tìm số dãy ghế và số người trong một dãy

Bài 5: Một phòng họp có 100 chỗ ngồi, nhưng số người đến họp là 144. Do đó, người ta phải kê thêm 2 dãy ghế và mỗi dãy ghế phải thêm 2 người ngồi. Hỏi phòng họp lúc đầu có mấy dãy ghế?

Phân tích:

Bài toán có hai tình huống xảy ra: Số ghế ban đầu và số ghế sau khi thêm. Nếu chọn số ghế lúc đầu là $x$, ta có thể biểu thị các số liệu chưa biết qua ẩn và có thể điền được vào các ô trống còn lại. Dựa vào giả thiết: Mỗi dãy ghế phải kê thêm 2 người ngồi, ta có thể lập được phương trình:

Lời giải:

Gọi số dãy ghế lúc đầu là $x$ ( dãy), $x$ nguyên dương.

Số dãy ghế sau khi thêm là: $x + 2$ (dãy).

Số ghế của một dãy lúc đầu là: $ \dfrac{{100}}{x}$ (ghế).

Số ghế của một dãy sau khi thêm là: $ \dfrac{{144}}{{x+2}}$ (ghế).

Vì mỗi dãy ghế phải thêm 2 người ngồi nên ta có phương trình:

$ \dfrac{{144}}{{x+2}}-\dfrac{{100}}{x}=2$

Giải phương trình ta được x=10 (thỏa mãn đk)

Vậy phòng họp lúc đầu có 10 dãy ghế.

DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG

Dạng toán có nhiều phương tiện tham gia trên nhiều quãng đường

Bài 6: Đường sông từ A đến B ngắn hơn đường bộ là 10km, Ca nô đi từ A đến B mất 2h30^‘, ô tô đi hết 2h. Vận tốc ca nô nhỏ hơn vận tốc ô tô là 17km/h. Tính vận tốc của ca nô và ô tô?

Phân tích:

Bài có hai phương tiện tham gia chuyển động là Ca nô và Ô tô.Hướng dẫn học sinh lập bảng gồm các dòng, các cột như trên hình vẽ. Cần tìm vận tốc của chúng. Vì thế có thể chọn vận tốc của ca nô hay ô tô làm ẩn x(x>0). Từ đó điền các ô thời gian, quãn đường theo số liệu đã biết và công thức nêu trên. Vì bài toán đã cho thời gian nên lập phương trình ở mối quan hệ quãng đường.

Công thức lập phương trình: S_ôtô -S_canô = 10

Lời giải:

Gọi vận tốc của ca nô là x km/h (x>0).

Vận tốc của ô tô là: x+17 (km/h).

Quãng đường ca nô đi là: $ \dfrac{{10}}{3}x$(km).

Quãng đường ô tô đi là: 2(x+17)(km).

Vì đường sông ngắn hơn đường bộ 10km nên ta có phương trình:

2(x+17) – $ \dfrac{{10}}{3}x$ =10

Giải phương trình ta được x = 18.(thỏa mãn đk).

Vậy vận tốc ca nô là 18km/h.

Vận tốc ô tô là 18 + 17 = 35(km/h).

Bài 7: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33km với vận tốc xác định. Khi đi từ B đến A, người đó đi bằng con đường khác dài hơn trước 29km, nhưng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 3km/h. Tính vận tốc lúc đi, biết thời gian đi nhiều hơn thời gian về là 1h30′?

Hướng dẫn tương tự bài 6.

– Công thức lập phương trình:   t_về – t_đi =1h30′ (=$ \dfrac{3}{2}h$).

– Phương trình là:

$ \dfrac{{62}}{{x+3}}-\dfrac{{33}}{x}=\dfrac{3}{2}$

Dạng toán chuyển động thường

Với các bài toán chuyển động dưới nước, yêu cầu học sinh nhớ công thức:

v_xuôi = v_thực + v_nước

v_ngược = v_thực – v_nước

Bài 8: Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80km, cả đi lẫn về mất 8h30′. Tính vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng? Biết rằng vận tốc dòng nước là 4km/h.

Phân tích:

Vì chuyển động dưới nước có vận tốc dòng nước nên cột vận tốc được chia làm hai phần ở đây gọi vận tốc thực của tàu là x km/h (x>4)

Công thức lập phương trình: t xuôi + t ngược + 8h30′ ($ =\dfrac{{25}}{3}h$)

 Lời giải:

Gọi vận tốc của tàu khi nước yên lặng là $x$ km/h (x>0)

Vận tốc của tàu khi xuôi dòng là: $x + 4$ km/h

Vận tốc của tàu khi ngược dòng là: $x – 4$ km/h

Thời gian tàu đi xuôi dòng là: $ \dfrac{{80}}{{x+4}}$h

Thời gian tàu đi ngược dòng là: $ \displaystyle \dfrac{{80}}{{x-4}}$h

Vì thời gian cả đi lẫn về là 8h 20′ = $ \dfrac{{25}}{3}$h nên ta có phương trình:

$ \dfrac{{80}}{{x+4}}+\dfrac{{80}}{{x-4}}=\dfrac{{25}}{3}$

Giải phương trình ta được: x₁ =-4/5 (loại); x₂ = 20 (tmđk) Vậy vận tốc của tàu khi nước yên lặng là 20 km/h

Dạng toán chuyển động có nghỉ ngang đường

t_{dự định} =t_đi + t_nghỉ

Quãng đường dự định đi= tổng các quãng đường đi

Bài 9: Một Ôtô đi từ Lạng Sơn đến Hà nội. Sau khi đi được 43km nó dừng lại 40 phút, để về  Hà nội kịp giờ đã quy định, Ôtô phải đi với vận tốc 1,2 vận tốc cũ. Tính vận tốc trước biết rằng quãng đường Hà nội- Lạng sơn dài 163km.

Phân tích:

Vì Ôtô chuyển động trên những quãng đường khác nhau, lại có thời gian nghỉ, nên phức tạp. Giáo viên cần vẽ thêm sơ đồ đoạn thẳng để học sinh dễ hiểu, dễ tìm thấy số liệu để điền vào các ô của bảng. Giáo viên đặt câu hỏi phát vấn học sinh: Thời gian dự định đi? Thời gian đi quãng đường đầu, quãng đường cuối?

Chú ý học sinh đổi từ số thập phân ra phân số cho tiện tính toán.

Công thức lập phương trình: t_đầu + t_dừng + t_cuối = t_{dự định}

Lời giải:

Gọi vận tốc lúc đầu của ô tô là $x$ km/h (x>0)

Vận tốc lúc sau là $1,2 x$ km/h

Thời gian đi quãng đường đầu là: $ \dfrac{{163}}{x}$h

Thời gian đi quãng đường sau là: $ \dfrac{{100}}{x}$h

Theo bài ra ta có phương trình

$ \dfrac{{43}}{x}+\dfrac{2}{3}+\dfrac{{100}}{x}=\dfrac{{163}}{x}$$ \dfrac{{43}}{x}+\dfrac{2}{3}+\dfrac{{100}}{x}=\dfrac{{163}}{x}$

Giải phương trình ta được x = 30 (tmđk)

Vậy vận tốc lúc đầu của ô tô là 30 km/h.

Bài 10: Một Ô tô dự định đi từ A đến B cách nhau 120km trong một thời gian dự định. Sau khi đi được 1h Ôtô bị chắn bởi xe hỏa 10 phút. Do đó để đến nơi đúng giờ xe phải tăng vận tốc lên 6km/h. tính vận tốc của Ôtô lúc đầu.

Hướng dẫn tương tự bài 9.

Công thức lập phương trình:  t_đi + t_nghỉ = t_{dự định}

Phương trình của bài toán là:

$ 1+\dfrac{1}{6}+\dfrac{{120-x}}{{x+6}}=\dfrac{{120}}{x}$

Đáp số: 48 km.

Dạng toán chuyển động ngược chiều

+ Hai chuyển động để gặp nhau thì: S₁ + S₂ = S

+ Hai chuyển động đi để gặp nhau: t₁ = t₂ (không kể thời gian đi sớm).

Bài 11: Hai Ô tô cùng khởi hành từ hai bến cách nhau 175km để gặp nhau. Xe1 đi sớm hơn xe 2 là 1h30′ với vận tốc 30kn/h. Vận tốc của xe 2 là 35km/h.

Hỏi sau mấy giờ hai xe gặp nhau?

Vì chuyển động ngược chiều đi để gặp nhau nên lập phương trình ở mối quan hệ quãng đường: S = S₁ + S₂

Lời giải:

Gọi thời gian đi của xe 2 là $x$ h (x > 0)

Thời gian đi của xe 1 là $ x +\dfrac{3}{2}$  h

Quãng đường xe 2 đi là: 35x km

Quãng đường xe 1 đi là: 30 ($ x +\dfrac{3}{2}$) km

Vì 2 bến cách nhau 175 km nên ta có phương trình:

30(x $ +\dfrac{3}{2}$) + 35x = 175

Giải phương trình ta được x = 2 (tmđk)

Vậy sau 2 giờ xe 2 gặp xe 1.

Dạng toán chuyển động cùng chiều

+ Quãng đường mà hai chuyển động đi để gặp nhau thì bằng nhau.

+ Cùng khởi hành:       t_{c/đ chậm} – t_{c/đ nhanh} = t_nghỉ (t_{đến sớm})

+ Xuất phát trước sau: t_{c/đ trước} – t_{c/đ sau} = t_{đi sau}

t_{c/đ sau} + t_{đi sau} + t_{đến sớm} = t_{c/đ trước}

Bài 12: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A, sau đó 5h30′ một chiếc ca nô cũng chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp thuyền tại một điểm cách A 20km. Hỏi vận tốc của thuyền? biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12km/h.

Phân tích:

Chuyển động của thuyền và ca nô nhưng không có vận tốc dòng nước vì thế các em làm như chuyển động trên cạn.

Công thức lập phương trình:  t_thuyền – t_{ca nô} = t_{đi sau} 

Lời giải:

Gọi vận tốc của thuyền là x km/h

Vận tốc của ca nô là x = 12 km/h

Thời gian thuyền đi là: $ \dfrac{{20}}{x}$

Thời gian ca nô đi là: $ \dfrac{{20}}{{x+12}}$

Vì ca nô khởi hành sau thuyền 5h30′ và đuổi kịp thuyền nên ta có phương trình:

$ \dfrac{x}{{20}}-\dfrac{{20}}{{x+12}}=\dfrac{{16}}{3}$

Giải phương trình ta được: x₁ = -15

x₂ = 3 (tmđk)

Vậy vận tốc của thuyền là 3 km/h.

Bài 13: Một người đi xe đạp tư tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 50km. Sau đó 1h30′ một xe máy cũng đi từ tỉnh A đến tỉnh B sớm hơn 1h. Tính vận tốc của mỗi xe? Biết rằng vận tốc xe máy gấp 2,5 vận tốc xe đạp.

Hướng dẫn lập bảng: Bài toán gồm hai đại lượng xe đạp và xe máy, trong thực tế xe đạp đi chậm hơn xe máy, cần tìm vận tốc của chúng nên gọi vận tốc của xe đạp là x km/h thuận lợi hơn. Vì đã biết quang đường nên các em chỉ còn tìm thời gian theo công thức: $ t=\dfrac{S}{v}$. Đi cùng quãng đường, xe máy xuất phát sau lại đến sớm hơn vì vậy ta có:

t_{xe đạp}= t_{xe máy} + t_{đi sau} + t_{về sớm}

Lời giải:

Gọi vận tốc của người đi xe đạp là x km/h (x>0)

Vận tốc người đi xe máy là: $ \dfrac{{5x}}{2}$ km/h

Thời gian người đi xe đạp đi là: $ \dfrac{{50}}{x}$h

Thời gian người đi xe máy đi là:$ \dfrac{{20}}{x}$ h

Do xe máy đi sau 1h30′ và đến sớm hơn 1h nên ta có phương trình:

                                         $ \dfrac{{50}}{x}=\dfrac{{20}}{x}+\dfrac{3}{2}+1$

Giải phương trình ta được x = 12 (tmđk)

Vậy vận tốc người đi xe đạp là 12km/h.

Dạng toán chuyển động một phần quãng đường

+, t_{dự định} = t_đi +t_nghỉ + t_{về sớm}

+,t_{dự định} = t_{thực tế} – t_{đến muộn}

+,t_{chuyển động trước} -t_{chuyển động sau} = t_{đi sau} ( t_{đến sớm})

– Chú ý cho các em nếu gọi cả quãng đường là x thì một phần quãng đường là $ \dfrac{x}{2},\dfrac{x}{3},\dfrac{{2x}}{3},\dfrac{{2x}}{4}…$

Bài 14: Một người dự định đi xe đạp từ nhà ra tỉnh với vận tốc trung bình 12km/h. Sau khi đi được 1/3 quãng đường với vận tốc đó vì xe hỏng nên người đó chờ ô tô mất 20 phút và đi ô tô với vận tốc 36km/h do vậy người đó đến sớm hơn dự định 1h40′. Tính quãng đường từ nhà ra tỉnh?

Phân tích:

Đây là dạng toán chuyển động $ \dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3}$ quãng đường của chuyển động, có thay đổi vận tốc và đến sớm, có nghỉ. Bài yêu cầu tính quãng đường AB thì gọi ngay quãng đường AB là x km (x>0). Chuyển động của người đi xê đạp sảy ra mấy trường hợp sau:

+ Lúc đầu đi $ \dfrac{1}{3}$ quãng đường bằng xe đạp.

+ Sau đó xe đạp hỏng, chờ ô tô (đây là thời gian nghỉ)

+ Tiếp đó người đó lại đi ô tô ở $ \dfrac{2}{3}$ quãng đường sau.

+ Vì thế đến sớm hơn so với dự định.

– Học sinh cần điền thời gian dự định đi, thời gian thực đi hai quãng đường bằng xe đạp, ô tô, đổi thời gian nghỉ và đến sớm ra giờ.

– Công thức lập phương trình:

t_{dự định} = t_đi + t_nghỉ + t_{đến sớm} .

– Phương trình là:

$ \dfrac{x}{{12}}=\dfrac{x}{{36}}+\dfrac{x}{{52}}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{3}$

Đáp số: $ 55\dfrac{1}{{17}}$Km.

Bài 15: Một người dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 50km/h. Sau khi đi được $ \dfrac{1}{3}$ quãng đường với vận tốc đó, vì đường khó đi nên người lái xe phải giảm vận tốc mỗi giờ 10km trên quãng đường còn lại. Do đó ô tô đến tỉnh B chậm 30 phút so với dự định.

Tính quãng đường AB?

Bài toán này hướng dẫn học sinh tương tự như bài 21, chỉ khác là chuyển động đến muộn so với dự định. Giáo viên cần lấy ví dụ thực tế để các em thấy:

t_{dự định} = t_{thực tế} – t_{đến muộn}

Phương trình là:

$ \dfrac{x}{{50}}=\dfrac{x}{{75}}+\dfrac{x}{{120}}-\dfrac{1}{2}$

Đáp số: 300 Km.

Bài 16: Một người đi xe đạp với vận tốc 15km/h. Sau đó một thời gian, một người đi xe máy cũng xuất phát từ A với vận tốc 30km/h. Nếu không có gì thay đổi thì sẽ đuổi kịp người đi xe đạp ở B.Nhưng sau khi đi được $ \dfrac{1}{2}$ quãng đường AB, người đi xe đạp giảm bớt vận tốc 3km/h. Nên hai người gặp nhau tại điểm C cách B 10 km. Tính quãng đường AB?

Phân tích:

Bài tập này thuộc dạng chuyển động, $ \dfrac{1}{2}$ quãng đường của hai chuyển động cùng chiều gặp nhau. Đây là dạng bài khó cần kẻ thêm nhiều đoạn thẳng để học sinh dễ hiểu hơn. Sau khi đã chọn quãng đường AB là x(km), chú ý học sinh:

+ Xe máy có thời gian đi sau và thời gian thực đi.

+ Xe đạp thay đổi vận tốc trên hai nửa quãng đường nên có hai giá trị về thời gian.

+ Thời gian xe đạp đi sớm hơn thời gian xe máy.

Từ đó hướng dẫn học sinh lập phương trình:                                 t_{xe đạp} – t_{xe máy} = t_{đi sau}

Phương trình là:

$ \dfrac{x}{{30}}+\dfrac{{x-20}}{{24}}-\dfrac{{x-10}}{{30}}=\dfrac{x}{{30}}$

Đáp số: 60 km.

Bài 17: Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ tỉnh A đến tỉnh B. xe con đi với vận tốc 45km/h. Sau khi đã đi được $ \dfrac{3}{4}$ quãng đường AB, xe con tăng thêm vận tốc 5km/h trên quãng đường còn lại. Tính quãng đường AB? Biết rằng : xe con đến tỉnh B sớm hơn xe tải 2 giờ 20 phút.

Phân tích:

Bài toán này tương tự như bài toán trên, nhưng hai xe cùng xuất phát một lúc. Chỉ lưu ý: xe con đi $ \dfrac{3}{4}$ quãng đường đầu với vận tốc 45km/h, đi $ \dfrac{1}{4}$ quãng đường sau với vận tốc 50km/h và xe con đến tỉnh B sớm hơn xe tải 1giờ 20 phút.

Từ đó hướng dẫn học sinh lập phương  trình:

t_{xe tải} – t_{xe con} = t_{đến sớm}

Nếu gọi quãng đường AB là xkm (x>0), thì phương trình là:

$ \dfrac{x}{{30}}-\left( {\dfrac{x}{{60}}+\dfrac{x}{{200}}} \right)=2\dfrac{1}{3}$

Đáp số: 200 Km