Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Hướng dẫn học sinh lớp 9 giải hệ phương trình bằng phương pháp thế qua các bài tập có hướng dẫn giải, bài tập giải hệ PT bằng phương pháp thế nâng cao.

Bài 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}3x+y=3\\2x-y=7\end{array} \right.$

Hướng dẫn

$ \left\{ \begin{array}{l}3x+y=3\\2x-y=7\end{array} \right.<=>\left\{ \begin{array}{l}5x=10\\3x+y=3\end{array} \right.<=>\left\{ \begin{array}{l}x=2\\3.2+y=3\end{array} \right.<=>\left\{ \begin{array}{l}x=2\\y=-3\end{array} \right.$

Bài 2: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế

$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x+2y=5\\3x+4y=5\end{array} \right.$

Hướng dẫn

$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x+2y=5\\3x+4y=5\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x+4y=10\\3x+4y=5\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=-5\\x+2y=5\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=-5\\y=5\end{array} \right.$

Bài 3: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế

$ \left\{ \begin{array}{l}x-y=3\\3x-\,\,4y\ \,=\,\ 2\end{array} \right.$

Hướng dẫn

$ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x-y=3\\3x-\,\,4y\ \,=\,\ 2\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=3+y\\3(3+y)-4y=2\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=3+y\\9+3y-4y=2\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=3+y\\-y=2-9\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=3+7\\y=7\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=10\\y=7\end{array} \right.\end{array}$

Bài 4: Giải hệ phương trình sau bằng phươn pháp thế

$ \left\{ \begin{array}{l}3x-2y=4\\2x+y=5\end{array} \right.$

Hướng dẫn

$ \Leftrightarrow $$ \left\{ \begin{array}{l}3x-2(5-2x)=4\\y=5-2x\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow $$ \left\{ \begin{array}{l}3x-10+4x=4\\y=5-2x\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow $$ \left\{ \begin{array}{l}7x=14\\y=5-2x\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow $$ \left\{ \begin{array}{l}x=2\\y=5-2.2\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow $$ \left\{ \begin{array}{l}x=2\\y=1\end{array} \right.$

Bài 5: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Hướng dẫn

Từ (1) ta có $ x=\dfrac{{5-3y}}{2}$ thế vào (2) ta được $ 3\left( {\dfrac{{5-3y}}{2}} \right)^{2}-y^{2}+2y-4=0$

$ \Leftrightarrow 3(25-30y+9y^{2})-4y^{2}+8y-16\Leftrightarrow 23y^{2}-82y+59=0\Leftrightarrow y=1,\,\,y=\dfrac{{59}}{{23}}$

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là $ \left\{ {\left( {1;1} \right);\,\,\left( {-\dfrac{{31}}{{23}};\dfrac{{59}}{{23}}} \right)} \right\}$

Bài 6:  Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế

35. a) $ \left\{ \begin{array}{l}x=35.\left( {y+2} \right)\\x=50.\left( {y-1} \right)\end{array} \right.$

Hướng dẫn

35. a) $ \left\{ \begin{array}{l}x=35.\left( {y+2} \right)\\x=50.\left( {y-1} \right)\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow $ $ \left\{ \begin{array}{l}50.\left( {y-1} \right)=35.\left( {y+2} \right)\\x=50.\left( {y-1} \right)\end{array} \right.$  $ \Leftrightarrow $ $ \left\{ \begin{array}{l}50y-50=35y+70\\x=50.\left( {y-1} \right)\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow $ $ \left\{ \begin{array}{l}50y-35y=50+70\\x=50.\left( {y-1} \right)\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow $ $ \left\{ \begin{array}{l}15y=120\\x=50.\left( {y-1} \right)\end{array} \right.$  $ \Leftrightarrow $  $ \left\{ \begin{array}{l}y=8\\x=50.\left( {y-1} \right)\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow $ $ \left\{ \begin{array}{l}y=8\\x=50.\left( {8-1} \right)\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow $$ \left\{ \begin{array}{l}y=8\\x=350\end{array} \right.$

Vậy hpt có một nghiệm duy nhất   (x; y) =  ( 350;  8)

Bài 7: Giải hệ phương trình sau băng phương pháp thế  $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}y=2x-3\\y=x-1\end{array} \right.$

Hướng dẫn

$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}y=2x-3\\y=x-1\end{array} \right.$           $ \Leftrightarrow $ $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}y=2x-3\\2x-3=x-1\end{array} \right.$    $ \Leftrightarrow $ $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}y=2x-3\\2x-x=3-1\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow $  $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}y=2.2-3\\x=2\end{array} \right.$        $ \Leftrightarrow $   $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}y=1\\x=2\end{array} \right.$

Vậy hpt có một nghiệm duy nhất   (x; y) =  ( 2; 1)

Bài 8: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế

$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\left( {x+14} \right).\left( {y-2} \right)=x.y\\\left( {x-4} \right).\left( {y+1} \right)=x.y\end{array} \right.$

Hướng dẫn

$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\left( {x+14} \right).\left( {y-2} \right)=x.y\\\left( {x-4} \right).\left( {y+1} \right)=x.y\end{array} \right.$    $ \Leftrightarrow $  $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}xy-2x+14y-28=x.y\\xy+x-4y-4=x.y\end{array} \right.$     $ \Leftrightarrow $   $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}-2x+14y=28\\x-4y=4\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow $ $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}-2.\left( {4+4y} \right)+14y=28\\x=4+4y\end{array} \right.$  $ \Leftrightarrow $  $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}-8-8y+14y=28\\x=4+4y\end{array} \right.$           $ \Leftrightarrow $   $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}6y=36\\x=4+4y\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow $  $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}y=6\\x=4+4.6\end{array} \right.$                  $ \Leftrightarrow $   $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}y=6\\x=28\end{array} \right.$

Vậy hpt có một nghiệm duy nhất   (x; y) =  $ \displaystyle \left( {28;6} \right)$

Bài 9: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế    $ \left\{ \begin{array}{l}y=\dfrac{{6-x}}{4}\\y=\dfrac{{4x-5}}{3}\end{array} \right.$)

Hướng dẫn

$ \left\{ \begin{array}{l}y=\dfrac{{6-x}}{4}\\y=\dfrac{{4x-5}}{3}\end{array} \right.$     $ \Leftrightarrow $ $ \left\{ \begin{array}{l}y=\dfrac{{6-x}}{4}\\\dfrac{{6-x}}{4}=\dfrac{{4x-5}}{3}\end{array} \right.$   $ \Leftrightarrow $   $ \left\{ \begin{array}{l}y=\dfrac{{6-x}}{4}\\18-3x=16x-20\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow $ $ \left\{ \begin{array}{l}y=\dfrac{{6-x}}{4}\\-19x=-38\end{array} \right.$  $ \Leftrightarrow $ $ \left\{ \begin{array}{l}y=\dfrac{{6-x}}{4}\\x=2\end{array} \right.$          $ \Leftrightarrow $   $ \left\{ \begin{array}{l}y=\dfrac{{6-2}}{4}\\x=2\end{array} \right.$         $ \Leftrightarrow $  $ \left\{ \begin{array}{l}y=1\\x=2\end{array} \right.$

Vậy hpt có một nghiệm duy nhất   $ \displaystyle \left( {x=2;y=1} \right)$

Bài 10: Giải và biện luận hệ phương trình: $ \left\{ \begin{array}{l}mx-y=2m(1)\\4x-my=m+6(2)\end{array} \right.$

Hướng dẫn

Từ (1) $ \Rightarrow $ y = mx – 2m, thay vào (2) ta được:

4x – m(mx – 2m) = m + 6 $ \Leftrightarrow $(m² – 4)x = (2m + 3)(m – 2)   (3)

i) Nếu m² – 4 $ \ne $ 0 hay m$ \ne $$ \pm $2 thì x = $ \dfrac{{(2m+3)(m-2)}}{{m^{2}-4}}=\dfrac{{2m+3}}{{m+2}}$

Khi đó y = – $ \dfrac{m}{{m+2}}$. Hệ có nghiệm duy nhất: ($ \dfrac{{2m+3}}{{m+2}}$;-$ \dfrac{m}{{m+2}}$)

ii) Nếu m = 2 thì (3) thỏa mãn với mọi x, khi đó y = mx -2m = 2x – 4
Hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x $ \in $ R

iii) Nếu m = -2 thì (3) trở thành 0x = 4 . Hệ vô nghiệm

Vậy:  – Nếu m$ \ne $$ \pm $2 thì  hệ có nghiệm duy nhất: (x,y) = ($ \dfrac{{2m+3}}{{m+2}}$;-$ \dfrac{m}{{m+2}}$)

– Nếu m = 2 thì  hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x $ \in $ R

– Nếu m = -2 thì hệ vô nghiệm

Bài 11: Cho hệ phương trình  $ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {mx+3y=-4} \\ {x-2y=5} \end{array}} \right.$

Xác định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất?

Hướng dẫn

Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi:

$ \dfrac{m}{1}\ne \dfrac{3}{{-2}}\Leftrightarrow m\ne -\dfrac{3}{2}$

Bài 12: Cho hệ phương trình (I) $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\text{kx}-\text{y}=5\text{ }\\\text{x }-\text{y}=1\end{array} \right.$tìm k để hệ (I) có nghiệm (2; 1)

Hướng dẫn

. Thay x = 2, y = 1 vào phương trình  kx – y = 5 ta có:

2k – 1 = 5

$ \displaystyle \Leftrightarrow $2k      = 6

$ \displaystyle \Leftrightarrow $  k      = 3

Vậy với k = 3 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất (2; 1).

 Bài 13: Xác định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:

$ \left\{ \begin{array}{l}mx+2y=m+1\\2x+my=2m-1\end{array} \right.$

Hướng dẫn 

$ \left\{ \begin{array}{l}mx+2y=m+1\\2x+my=2m-1\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow $$ \left\{ \begin{array}{l}2mx+4y=2m+2\\2mx+m^{2}y=2m^{2}-m\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow $$ \left\{ \begin{array}{l}(m^{2}-4)y=2m^{2}-3m-2=(m-2)(2m+1)\\2x+my=2m-1\end{array} \right.$

để hệ có nghiệm duy nhất thì  m² – 4 $ \ne $0 hay m $ \ne $$ \pm 2$

Vậy với m $ \ne $$ \pm 2$ hệ phương trình có nghiệm duy nhất

$ \left\{ \begin{array}{l}y=\dfrac{{(m-2)(2m+1)}}{{m^{2}-4}}=\dfrac{{2m+1}}{{m+2}}=2-\dfrac{3}{{m+2}}\\x=\dfrac{{m-1}}{{m+2}}=1-\dfrac{3}{{m+2}}\end{array} \right.$

Để x, y là những số nguyên thì m + 2 $ \in $ Ư(3) = $ \left\{ {1;-1;3;-3} \right\}$

Vậy: m + 2 = $ \pm $1, $ \pm $3 => m = -1; -3; 1; -5

Bài 14: Định m để 3 đường thẳng  3x + 2y = 4; 2x – y = m và x + 2y = 3 đồng quy

Hướng dẫn

– Tọa độ giao điểm M (x ; y) của hai đường thẳng 3x + 2y = 4 và x + 2y = 3 là nghiệm của hệ phương trình: $ \left\{ \begin{array}{l}3x+2y=4\\x+2y=3\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow $$ \left\{ \begin{array}{l}x=0,5\\y=1,25\end{array} \right.$. Vậy M(0,2 ; 1,25)

Để ba đường thẳng trên đồng quy thì điểm M thuộc đường thẳng 2x – y = m, tức là: 2.0,2- 1,25 = m $ \Leftrightarrow $m = -0,85

Vậy khi m = -0,85 thì ba đường thẳng trên đồng quy

Bài 15: Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn hệ thức cho trước

Cho hệ phương trình: $ \left\{ \begin{array}{l}mx+4y=9\\x+my=8\end{array} \right.$

Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức:

2x + y + $ \dfrac{{38}}{{m^{2}-4}}$ = 3

Hướng dẫn

– Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất: m $ \ne \pm $2

– Giải hệ phương trình theo m

$ \left\{ \begin{array}{l}mx+4y=9\\x+my=8\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow $$ \left\{ \begin{array}{l}mx+4y=9\\mx+m^{2}y=8m\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow $$ \left\{ \begin{array}{l}(m^{2}-4)y=8m-9\\x+my=8\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow $$ \left\{ \begin{array}{l}y=\dfrac{{8m-9}}{{m^{2}-4}}\\x=\dfrac{{9m-32}}{{m^{2}-4}}\end{array} \right.$

– Thay x = $ \dfrac{{9m-32}}{{m^{2}-4}}$ ; y = $ \dfrac{{8m-9}}{{m^{2}-4}}$ vào hệ thức đã cho ta được:

$ \dfrac{{9m-32}}{{m^{2}-4}}$ + $ \dfrac{{8m-9}}{{m^{2}-4}}$+ $ \dfrac{{38}}{{m^{2}-4}}$= 3

=> 18m – 64 +8m – 9 + 38 = 3m² – 12

$ \Leftrightarrow $ 3m² – 26m + 23 = 0

$ \Leftrightarrow $m₁ = 1 ; m₂ =$ \dfrac{{23}}{3}$ (cả hai giá trị của m đều thỏa mãn điều kiện)

Vậy m = 1 ; m = $ \dfrac{{23}}{3}$

*Download file Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.docx bằng cách click vào nút Tải về dưới đây.