Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của ba cạnh của tam giác.
Khái niệm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Phương pháp:
– Tam giác thường: Vẽ hai đường trung trực, giao của 2 đường trung trực là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
– Tam giác vuông: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền.
– Tam giác cân: Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác cân nằm trên đường cao hạ từ đỉnh xuống đáy tam giác.
– Tam giác đều: Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều trùng với trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
Bài tập
Các em xem 2 bài toán có lời giải dưới đây để biết cách xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Bài 1: Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) vuông cân có cạnh góc vuông bằng \(a\).
Giải:
Áp dụng định lý Pitago chiều dài cạnh huyền:
\(\displaystyle c^{2}=a^{2}+a^{2} \Rightarrow c=a \sqrt{2}\)
Vì tam giác vuông cân, nên tâm đường tròn là trung điểm của cạnh huyền và chiều dài bán kính là:
\(\displaystyle R=\dfrac{c}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)
Bài 2: Xác định tâm và bán kính của đường tròn tâm \((O)\) ngoại tiếp tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng a.
Giải:
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều \(ABC\) là trực tâm của tam giác \(ABC\).
Từ \(A\) hạ đường cao \(AH\) xuống \(BC\), ta có: \(\displaystyle HB=HC=\dfrac{{BC}}{2}=\dfrac{a}{2}\)
Công thức suy ra từ pitago:
\(\displaystyle A{{H}^{2}}=A{{C}^{2}}-H{{C}^{2}}={{a}^{2}}-{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^{2}}=\dfrac{{3{{a}^{2}}}}{4}\Rightarrow AH=\dfrac{{a\sqrt{3}}}{2}\)
⇒ Tâm đường tròn là trực tâm của tam giác và có bán kính:
\(\displaystyle R=\dfrac{2}{3}AH=\dfrac{{a\sqrt{3}}}{3}\)
Bài viết liên quan
- Chuyên đề Hình học THCS: kỹ thuật chứng minh và bài tập
- Cách chứng minh tia phân giác của góc
- Các cách chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng AB
- Các cách chứng minh 2 đường thẳng vuông góc
- Các cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Mở rộng: vị trí tâm ngoại tiếp theo loại tam giác
- Tam giác nhọn: tâm ngoại tiếp nằm bên trong tam giác.
- Tam giác vuông: tâm ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền.
- Tam giác tù: tâm ngoại tiếp nằm bên ngoài tam giác.
Ví dụ
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), cạnh huyền \(BC=10\). Tâm ngoại tiếp \(O\) là trung điểm của \(BC\), nên bán kính:
\(R=OB=OC=\dfrac{BC}{2}=5\).
Ứng dụng
Khi cần chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn, đôi khi không cần dựng tâm. Chỉ cần chứng minh các điểm cùng cách một điểm cố định hoặc cùng nhìn một đoạn dưới góc vuông.
Xem thêm cách chứng minh tứ giác nội tiếp.