Chứng minh ba điểm thẳng hàng là dạng bài hình học xuất hiện từ cơ bản đến nâng cao. Cách làm phụ thuộc vào dữ kiện; điều quan trọng là chỉ ra một đường thẳng duy nhất mà cả ba điểm cùng thuộc.
1. Chứng minh một điểm thuộc đường thẳng qua hai điểm còn lại
Nếu \(A\in BC\) thì \(A,B,C\) thẳng hàng.
2. Chứng minh một góc bẹt
Nếu \(\widehat{ABC}=180^\circ\) thì \(A,B,C\) thẳng hàng.
3. Dùng tính duy nhất của đường thẳng song song
Nếu qua \(A\), hai đường \(AB\) và \(AC\) cùng song song với một đường \(d\), thì \(AB\) và \(AC\) trùng nhau.
4. Dùng tính duy nhất của đường vuông góc
Nếu qua \(A\), hai đường \(AB\), \(AC\) cùng vuông góc với \(d\), thì chúng trùng nhau.
5. Dùng đường trung trực
Nếu các điểm cùng cách đều hai đầu mút \(M,N\), chúng cùng thuộc đường trung trực của \(MN\). Cần chứng minh đủ từng điểm, không chỉ nêu tính chất chung.
6. Dùng tia phân giác
Điểm nằm trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì thuộc tia phân giác. Phải xác định đúng phân giác trong hoặc ngoài.
7. Dùng các đường đặc biệt trong tam giác
Khai thác tính duy nhất của trung tuyến, đường cao, phân giác, trung trực đi qua một điểm đặc biệt để đưa các điểm về cùng một đường.
8. Dùng tứ giác đặc biệt
Các tính chất đường chéo của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông thường tạo ra trung điểm hoặc giao điểm duy nhất.
9. Dùng đường tròn
Có thể dùng đường nối tâm, đường kính, tiếp tuyến, điểm chính giữa cung hoặc tính chất hai đường tròn tiếp xúc, nhưng phải nêu rõ định lý dẫn đến cùng một đường thẳng.
10. Dùng diện tích
Nếu \(B,C\) xác định một đường thẳng và chứng minh được diện tích tam giác \(ABC\) bằng 0 thì \(A\in BC\).
Cách chọn hướng giải
- Nhiều góc: ưu tiên góc bẹt, song song, vuông góc.
- Khoảng cách bằng nhau: nghĩ đến đường trung trực hoặc phân giác.
- Trung điểm, tứ giác đặc biệt: khai thác đường chéo và tính duy nhất.
- Có đường tròn: xét đường kính, tiếp tuyến và đường nối tâm.
Bài viết liên quan
- Chuyên đề Hình học THCS: kỹ thuật chứng minh và bài tập
- Cách chứng minh tia phân giác của góc
- Các cách chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng AB
- Các cách chứng minh 2 đường thẳng vuông góc
- Tóm tắt lý thuyết hình học THCS lớp 6, 7, 8, 9
Mở rộng: sơ đồ chọn cách chứng minh ba điểm thẳng hàng
- Có góc bẹt \(180^\circ\) → chứng minh tổng hai góc kề bằng \(180^\circ\).
- Có hai đường cùng đi qua một điểm và cùng vuông góc với một đường → dùng tính duy nhất của đường vuông góc.
- Có hai đường cùng song song với một đường qua cùng một điểm → dùng tính duy nhất của đường song song.
- Có đường tròn → khai thác góc nội tiếp hoặc đường kính.
- Bài HSG có tỉ lệ → cân nhắc Menelaus hoặc diện tích, nhưng cần ghi rõ đây là kiến thức nâng cao.
Ví dụ ngắn
Nếu \(\widehat{AMB}+\widehat{BMC}=180^\circ\) và hai góc kề nhau, thì hai tia \(MA,MC\) đối nhau. Do đó \(A,M,C\) thẳng hàng.