BÀI TẬP HÌNH HỌC 9 – CHƯƠNG 2
Bài 1: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, H là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB. Vẽ đường tròn (M;MH). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn tâm M (C, D là các tiếp điểm khác H).
a) Chứng minh: C, M, D thẳng hàng và CD là tiếp tuyến của (O)
b) Chứng minh: Khi M di chuyển trên AB thì tổng AC + BD không đổi.
c) Giả sử CD và AB cắt nhau tại I. Chứng minh: OH.OI không đổi.
Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d với đường tròn. Gọi E, F lần lượt là chân đường cao các đường vuông góc kẻ từ A, B đến d. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB. Chứng minh rằng:
a) CE = CF
b) AC là tia phân giác của $ \widehat{{BAE}}$
c) $ CH^{2}=AE.BF$
Bài 3: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Từ A, B vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Từ M là điểm trên nửa đường tròn (O) (M không là điểm chính giữa cung AB) vẽ tiếp tuyến lần lượt cắt Ax, By tại điểm C, D.
a) Chứng tỏ AC + BD = CD
b) Chứng minh tam giác COD vuông
c) Tia BM cắt Ax tại P, tia AM cắt By tại Q. Chứng minh ba đường thẳng AB, CD, PQ đồng quy.
Bài 4: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Từ một điểm M trên nửa đường tròn ta vẽ tiếp tuyến xy. Vẽ AD và BC vuông góc với xy.
a) Chứng minh rằng: MC = MD
b) Chứng minh rằng AD + BC có giá trị không đổi khi điểm M di động trên nửa đường tròn.
c) Chứng minh rằng đường tròn đường kính CD tiếp xúc với ba đường thẳng AD, BC và AB
d) Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) để cho diện tích tứ giác ABCD lớn nhất.
Bài 5: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D.
a) Chứng minh đường trong đường kính CD tiếp xúc AB.
b) Gọi E là giao điểm của BC và AD. ME cắt AB tại H
c) Chứng minh: E là trung điểm của đoạn MH
d) Tìm vị trí của M để hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất
e) Tìm vị trí của C, D để hình thang ABDC có chu vi bằng 14cm, biết AB = 4cm
Bài 6: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ hai tia tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là một điểm thuộc nửa đường tròn (AM < BM). Tiếp tuyến tại M với nửa đường tròn cắt Ax, By lần lượt ở C và D.
a) Tính số đo góc $ \widehat{{COD}}$
b) Chứng minh rằng đường trong có đường kính CD tiếp xúc với AB
Bài 7: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính CD = 2R. Từ C và D kẻ tiếp tuyến Cx và Dy về cùng một phía của nửa đường tròn. Từ một điểm E trên nửa đường tròn (E khác C và D) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Cx và Dy lần lượt tại A và B.
a) Chứng minh: AB = AC + BD
b) Chứng minh tam giác AOB là tam giác vuông.
c) Gọi F là giao điểm của AD và BC. Chứng minh: EF.AB = AC.BD
Bài 8: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, E là một điểm tùy ý trên nửa đường tròn (E $ \ne $ A, B). Kẻ 2 tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn. Qua E kẻ tiếp tuyến thứ ba lần lượt cắt Ax và By tại M và N.
a) Chứng minh MN = AM + BN và $ \widehat{{MON}}=90^{o}$
b) Chứng minh AM.BN = $ R^{2}$
c) OM cắt AE tại P, ON cắt BE tại Q. Chứng minh PQ không đổi khi E chuyển động trên nửa đường tròn
Bài 9: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. M là một điểm tùy ý trên nửa đường tròn $ (M\ne A,B)$. Kẻ hai tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba lần lượt cắt Ax và By tại C và D.
a) Chứng minh CD = AC + BD
b) Chứng minh tam giác COD là tam giác vuông
c) Chứng minh AC.BD = $ R^{2}$
d) OC cắt AM tại E, OD cắt BM tại F. Chứng minh EF = R
Bài 10: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến Ax, By cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Vẽ bán kính OE bất kì. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại E cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D.
a) Chứng minh rằng CD = AC + BD
b) Tính số đo $ \widehat{{COD}}$
c) Gọi I là giao điểm của OC và AE, gọi K là giao điểm của OD và BE. Tứ giác EIOK là hình gì? Vì sao?
d) Cho $ OC=\sqrt{5};OD=\sqrt{7}$. Tính bán kính đường tròn.
Bài 11: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến Ax, By cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba với đường tròn, nó cắt Ax và By lần lượt tại C và D.
a) Chứng minh: tam giác COD là tam giác vuông
b) Chứng minh: MC.MD = $ OM^{2}$
c) Cho biết OC = BA = 2R, tính AC và BD theo R.
Bài 12: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax, By cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Vẽ bán kính OE bất kì. Tiếp tuyến nửa đường tròn tại A cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D.
a) Chứng minh rằng CD = AC + BD
b) Tính số đo góc DOC
c) Gọi I là giao điểm của OC và AE; K là giao điểm của OD và BE. Tứ giác EIOK là hình gì? Vì sao? Và IK // MN
d) Xác định vị trí của OE để tứ giác EIOK là hình vuông.
Bài 13: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d của đường tròn. Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến d. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB. Chứng minh rằng:
a) CE = CF
b) AC là tia phân giác của $ \widehat{{BAE}}$
c) $ CH^{2}=AE.BF$
Bài 14: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, kẻ tia tiếp tuyến Ax. Từ M trên Ax, kẻ tiếp tuyến MC tới nửa đường tròn ($ C\in (O)$). Đường thẳng BC cắt tia Ax tại D.
a) Chứng minh : MA = MD
b) Kẻ $ CH\bot AB$, BM cắt CH tại I. Chứng minh: I là trung điểm của CH
c) Kẻ tia $ Oy\bot OM$, tia này cắt MC tại N. Chứng minh: NB là tiếp tuyến của nửa (O).
Bài 15: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn cùng phía đối với AB. Từ điểm M trên nửa đường tròn (M khác A,B) vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt Ax và By lần lượt tại C và D.
a) Chứng minh: Tam giác COD là tam giác vuông
b) Chứng minh: $ MC.MD=OM^{2}$
c) Cho biết OC = BA = 2R, tính AC và BD theo R
Bài 16: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Các tiếp tuyến của đường tròn vẽ từ A và C cắt nhau tại M. Trên tia AM lấy điểm D sao cho AD = BC. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác ABCD là hình bình hành
b) Ba đường thẳng AC, BD, OM đồng quy.
Bài 17: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Đường cao AH cắt đường tròn ở điểm D.
a) AD có phải là đường kính của đường tròn (O) không ? Tại sao ?
b) Chứng minh: $ BC^{2}=4AH.DH$
c) Cho $ BC=24cm,AB=20cm$. Tính bán kính của đường tròn (O).
Bài 18: Cho tam giác ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
a) Chứng minh rằng bốn điểm A, D, H, E cùng nằm trên một đường tròn (gọi tâm của nó là O)
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ME là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Bài 19: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD. Gọi H là trực tâm của tam giác.
a) Tính số đo góc $ \widehat{{ABD}}$
b) Tứ giác BHCD là hình gì? Tại sao?
c) Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh 2OM = AH
Bài 20: Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn đường kính BC cắt AB ở N và cắt AC ở M. Gọi H là giao điểm của BM và CN.
a) Tính số đo các góc BMC và BNC
b) Chứng minh AH vuông góc BC
c) Chứng minh tiếp tuyến tại N đi qua trung điểm AH
Bài 21: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Vẽ đường phân giác BI
a) Chứng minh rằng đường tròn (I; IA) tiếp xúc với BC.
b) Cho biết $ AB=a$. Chứng minh rằng $ AI=\left( {\sqrt{2}-1} \right)a$. Từ đó suy ra $ \tan 22^{o}30’=\sqrt{2}-1$
Bài 22: Cho tam giác ABC vuông ở A có AB = 8, AC = 15. Vẽ đường cao Ah. Gọi D là điểm đối xứng với B qua H. Vẽ đường tròn đường kính CD, cắt AC ở E.
a) Chứng minh rằng HE là tiếp tuyến của đường tròn.
b) Tính độ dài HE.
Bài 23: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của điểm H trên các cạnh AB và AC.
a) Chứng minh AD.AB = AE.AC
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BH và CH. Chứng minh DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (M;MD) và (N;NE)
c) Gọi P là trung điểm MN; Q là giao điểm của DE và AH. Giả sử AB = 6cm; AC = 8cm. Tính độ dài PQ
Bài 24: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. d là tiếp tuyến đường tròn tại A. Các tiếp tuyến đường tròn tại B và C cắt D theo thứ tự ở D và E.
a) Tính DOE
b) Chứng minh DE = BD + CE
c) Chứng minh: $ BD.CE=R^{2}$ (R là bán kinh đường tròn tâm O)
d) Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE
Bài 25: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Đường tròn (O; r), $ (O;r_{1}),(O;r_{2})$ theo thứ tự là đường tròn nội tiếp các $ \Delta ABC,\Delta ABH,\Delta ACH$. Chứng minh rằng:
a) AB + AC – BC = 2r
b) $ R+r_{1}+r_{2}=AH$
c) $ r^{2}=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}$
Bài 26: Cho tam giác đều ABC, O là trung điểm của BC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm di động D, E sao cho $ \widehat{{DOE}}=60^{o}$
a) Chứng minh rằng tích BD.CE không đổi.
b) Chứng minh $ \Delta BOD\ne \Delta OED$. Từ đó suy ra tia DO là tia phân giác của góc BDE.
c) Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB. Chứng minh rằng đường tròn này luôn tiếp xúc với DE.
Bài 27: Gọi O là trung điểm của AB. Vẽ hai tia Ax, By cùng vuông góc với AB và cùng chiều. Vẽ góc vuông zOt sao cho Oz cắt Ax tại C và Ot cắt By tại D
a) Chứng minh CO là tia phân giác của góc ACD
b) Chứng minh CD tiếp xúc với đường tròn đường kính AB
c) AB tiếp xúc với đường tròn đường kính CD
Bài 28: Tính cạnh huyền của một tam giác vuông, biết r là bán kính đường tròn nội tiếp và R là bán kính đường tròn bàng tiếp trong góc vuông.
Bài 29: Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B và C là các tiếp điểm). Kẻ $ BE\bot AC$ và $ CF\bot AB$ $ (E\in AC,F\in AB)$, BE và CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh tứ giác BOCH là hình thoi
b) Chứng minh ba điểm A, H, O thẳng hàng
c) Xác định vị trí điểm A để H nằm trên đường tròn (O)
Bài 30: Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B và C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC
a) Chứng minh $ OA\bot BC$ và tính tích OH.OA theo R
b) Kẻ đường kính BD của đường tròn (O). Chứng minh CD // OA
c) Gọi E là hình chiếu của C trên BD, K là giao điểm của AD và CE. Chứng minh K là trung điểm CE
Bài 31: Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B và C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC
a) Chứng minh $ OA\bot BC$ và tính tích OH.OA theo R
b) Kẻ đường kính BD của đường tròn (O). Chứng minh CD // OA
c) Gọi E là hình chiếu của C trên BD, K là giao điểm của AD và CE. Chứng minh K là trung điểm CE
Bài 32: Từ điểm I bên ngoài (O; R) vẽ hai cát tuyến IAB và ICD (không qua tâm O). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai dây AB và CD
a) Chứng minh: O, I, M, N cùng thuộc một đường tròn
b) Đường tròn (OIMN) cắt (O) tại E và F. Chứng minh: IE, IF là hai tiếp tuyến của (O)
c) EF cắt OM tại K và cắt OI tại H. Chứng minh: OM.OK = OH.OI = $ R^{2}$
Bài 33: Từ điểm I ở ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai cát tuyến IAB và ICD (không qua O). Gọi M, N lần lượt là 2 trung điểm của 2 dây cung AB, CD
a) Chứng minh: $ OM\bot AB;ON\bot CD;OM+ON\le 2R,CD\le 2R,AB<2R$ b) Chứng tỏ có 1 đường tròn qua 4 điểm O, I, M, N. Xác định tâm K của đường tròn này. c) Đường tròn (K) cắt (O) tại E và F.
Chứng tỏ IE, IF là hai tiếp tuyến của (O). Suy ra cách dựng tiếp tuyến vẽ từ I đến (O) d) Chứng tỏ: $ AB>CD\Leftrightarrow OM<ON$. Nói rõ vị trí tương đối của 2 cát tuyến IAB và ICD lúc AB = CD
Bài 34: Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA và MB (A, B là tiếp điểm). Cho biết góc AMB bằng $ 40^{o}$
a) Tính góc AOB
b) Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt MB tại N. Chứng minh tam giác OMN là tam giác cân.
Bài 35: Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O;R), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Đường thẳng vuông góc với OB tại O cắt AC tại N. Đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt AB tại M
a) Chứng minh rằng tứ giác AMON là hình thoi
b) Điểm A phải cách điểm O một khoảng bao nhiêu để cho MN là tiếp tuyến của (O).
Bài 36: Trên tiếp tuyến tại A của (O; R) lấy điểm B với AB = R. Từ A kẻ đường vuông góc với OB tại H, cắt (O) tại C. OB cắt cung nhỏ AC tại I.
a) Chứng minh: AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)
b) Tính theo R độ dài BH, IH và AI
Bài 37: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi Ax, By là đường thẳng vuông góc với AB, M là một điểm bất kỳ trên cung AB và không trùng với A, B. Kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn nó cắt Ax, By lần lượt tại C, D. Chứng minh rằng:
a) $ \displaystyle \widehat{{COD}}=90^{o}$
b) CD = AC + BD
c) Tích AC.BD không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn.
d) Đường tròn qua C, D tiếp xúc với AB tại O
Bài 38: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M bất kì thuộc tia Ax kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt By ở N
a) Tính số đo góc MON
b) Chứng minh MN = AM + BN
c) Tính tích AM.BN theo R
Bài 39: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, kẻ tiếp tuyến Ax, By cùng phía nới nửa đường tròn đối với AB. Trên Ax lấy điểm C, trên By lấy điểm D sao cho $ \widehat{{COD}}=90^{o}$; OD kéo dài cắt CA tại I. Chứng minh:
a) OD = OI
b) CD = AC + BD
Bài 40: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và M là một điểm bất kì trên nửa đường tròn (M khác A, B). Đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn tại M cắt trung trực của AB tại I. Đường tròn tâm I tiếp xúc với AB cắt đường thẳng d tại C và D (C nằm trong góc AOM). Chứng minh:
a) OC, OD theo thứ tự là các tia phân giác của góc AOM và BOM
b) CA, DB là hai tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.
c) $ AC.BD=\dfrac{{AB^{2}}}{4}$
cho mình xin tài liệu được không