Để chứng minh một tam giác vuông, ta cần chỉ ra một góc của tam giác bằng \(90^\circ\) hoặc sử dụng một định lý tương đương. Các cách dưới đây dùng linh hoạt tùy dữ kiện, không nên gắn cứng với một lớp học.
Cách 1. Chứng minh trực tiếp một góc bằng 90°
Nếu \(\widehat A=90^\circ\) thì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).
Cách 2. Dùng định lý Pythagore đảo
Nếu \(BC\) là cạnh lớn nhất và \(AB^2+AC^2=BC^2\) thì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).
Cách 3. Dùng trung tuyến ứng với một cạnh
Nếu \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(AM=BC/2\) thì \(AM=BM=CM\), nên \(A,B,C\) nằm trên đường tròn đường kính \(BC\). Suy ra \(\widehat A=90^\circ\).
Cách 4. Dùng đường tròn có một cạnh là đường kính
Nếu tam giác \(ABC\) nội tiếp một đường tròn và \(BC\) là đường kính thì \(\widehat{BAC}=90^\circ\).
Cách 5. Đưa góc cần chứng minh vào tứ giác đặc biệt
Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật hoặc hình vuông để suy ra góc vuông; với hình thoi có thể khai thác hai đường chéo vuông góc.
Cách 6. Dùng tiếp tuyến và bán kính
Bán kính đi qua tiếp điểm vuông góc với tiếp tuyến, từ đó tạo tam giác vuông.
Lưu ý
- Dùng Pythagore đảo phải xác định đúng cạnh lớn nhất.
- Dùng đường tròn đường kính phải chứng minh đủ điều kiện nội tiếp.
- Dùng trung tuyến phải có đúng điều kiện trung tuyến bằng nửa cạnh đối diện.
Bài viết liên quan
- Chuyên đề Hình học THCS: kỹ thuật chứng minh và bài tập
- Cách chứng minh tia phân giác của góc
- Các cách chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng AB
- Các cách chứng minh 2 đường thẳng vuông góc
- Các cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Mở rộng: cách chọn dấu hiệu chứng minh tam giác vuông
- Có góc \(90^\circ\) trực tiếp → dùng định nghĩa.
- Biết ba cạnh → kiểm tra định lí Pythagore đảo.
- Có đường tròn và một cạnh là đường kính → dùng góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.
- Có trung tuyến bằng nửa cạnh đối diện → dùng định lí đảo về trung tuyến trong tam giác vuông.
- Có hai góc phụ nhau → suy ra góc còn lại bằng \(90^\circ\).
Ví dụ
Tam giác có ba cạnh \(6,8,10\). Vì:
\(6^2+8^2=36+64=100=10^2\),
nên tam giác vuông, cạnh 10 là cạnh huyền.
Trước khi áp dụng Pythagore đảo, hãy xác định cạnh lớn nhất để đặt ở vế bình phương riêng.