Cách chứng minh 3 đường thẳng đồng quy

Ba đường thẳng đồng quy khi chúng cùng đi qua một điểm. Trong bài Hình học THCS, cách phổ biến nhất là lấy giao điểm của hai đường rồi chứng minh điểm đó thuộc đường thứ ba.

1. Dùng giao điểm của hai đường

Gọi \(O=d_1\cap d_2\). Nếu chứng minh được \(O\in d_3\), thì \(d_1,d_2,d_3\) đồng quy tại \(O\). Đây thường là cách ngắn nhất khi giao điểm đã rõ.

2. Dùng các đường đặc biệt trong tam giác

• Ba trung tuyến đồng quy tại trọng tâm.
• Ba đường cao đồng quy tại trực tâm.
• Ba đường trung trực đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp.
• Ba đường phân giác trong đồng quy tại tâm đường tròn nội tiếp.

Muốn dùng các định lý này, phải chứng minh ba đường đang xét đúng là ba đường cùng loại của một tam giác.

3. Dùng tính chất tứ giác đặc biệt

Hai đường chéo của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi và hình vuông cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Nếu đường thứ ba cũng đi qua điểm này, ba đường đồng quy.

4. Dùng định lý Ceva

Trong tam giác \(ABC\), với \(D\in BC, E\in CA, F\in AB\), nếu

\[\dfrac{BD}{DC}\cdot\dfrac{CE}{EA}\cdot\dfrac{AF}{FB}=1,\]

thì \(AD,BE,CF\) đồng quy. Đây là công cụ nâng cao, thường gặp trong bài HSG.

Checklist

• Hai đường đầu tiên có giao điểm xác định không?
• Đường thứ ba có thể chứng minh đi qua giao điểm đó bằng tính chất nào?
• Nếu dùng Ceva, các điểm có nằm đúng trên ba cạnh không?

Bài viết liên quan

• Chuyên đề Hình học THCS: kỹ thuật chứng minh và bài tập
• Cách chứng minh tia phân giác của góc
• Các cách chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng AB
• Các cách chứng minh 2 đường thẳng vuông góc
• Các cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng