1) Các bài toán biến đổi đại số thông thường
Ví dụ 1. (Trích đề thi HSG huyện Nghi Xuân Hà Tĩnh)
Tính giá trị của biểu thức: $ A=\sqrt{{6-2\sqrt{5}}}+\sqrt{{14-6\sqrt{5}}}$
Lời giải.
Ta có: $ A=\sqrt{{6-2\sqrt{5}}}+\sqrt{{14-6\sqrt{5}}}=\sqrt{{{\left( {\sqrt{5}-1} \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( {3-\sqrt{5}} \right)}^{2}}}=\sqrt{5}-1+3-\sqrt{5}=2$
Ví dụ 2. (Trích đề thi HSG tỉnh Lâm Đồng năm 2010-2011)
Rút gọn $ \displaystyle A=\sqrt{{127-48\sqrt{7}}}-\sqrt{{127+48\sqrt{7}}}$.
Lời giải.
Ta có: $ \displaystyle A=\sqrt{{127-48\sqrt{7}}}-\sqrt{{127+48\sqrt{7}}}$ =$ \displaystyle \sqrt{{{(8-3\sqrt{7})}^{2}}}-\sqrt{{{(8+3\sqrt{7})}^{2}}}$
= $ \displaystyle |8-3\sqrt{7}|-|8+3\sqrt{7}|$
$ \displaystyle =-6\sqrt{7}$
Ví dụ 3. (Trích đề thi chọn HSG tỉnh Hòa Bình Năm 2010-2011)
Cho $a=\sqrt{11+6 \sqrt{2}}+\sqrt{11-6 \sqrt{2}}$. Chứng minh rằng $ a$ là một số nguyên.
Lời giải.
$a=\sqrt{11+6 \sqrt{2}}+\sqrt{11-6 \sqrt{2}}=\sqrt{(3+\sqrt{2})^2}+\sqrt{(3-\sqrt{2})^2}=6$
Từ đó $ a$ là một số nguyên.
Ví dụ 4. (Trích đề thi HSG Phú Thọ năm 2012-2013)
Rút gọn biểu thức: A=$ \displaystyle \sqrt{{\dfrac{{2\sqrt{{10}}+\sqrt{{30}}-2\sqrt{2}-\sqrt{6}}}{{2\sqrt{{10}}-2\sqrt{2}}}}}:\dfrac{2}{{\sqrt{3}-1}}$
Lời giải.
Ta có: $ \displaystyle \sqrt{{\dfrac{{2\sqrt{{10}}+\sqrt{{30}}-2\sqrt{2}-\sqrt{6}}}{{2\sqrt{{10}}-2\sqrt{2}}}}}:\dfrac{2}{{\sqrt{3}-1}}$=$ \sqrt{{\dfrac{{2\sqrt{2}(\sqrt{5}-1)+\sqrt{6}(\sqrt{5}-1)}}{{2\sqrt{2}(\sqrt{5}-1)}}}}.\dfrac{{\sqrt{3}-1}}{2}=\sqrt{{\dfrac{{2+\sqrt{3}}}{2}}}.\dfrac{{\sqrt{3}-1}}{2}=\sqrt{{\dfrac{{4+2\sqrt{3}}}{4}}}.\dfrac{{\sqrt{3}-1}}{2}=\dfrac{{\sqrt{3}+1}}{2}.\dfrac{{\sqrt{3}-1}}{2}=\dfrac{1}{2}$
Ví dụ 5. (Trích đề thi HSG T.P Bắc Giang năm 2016-2017)
Tính giá trị của biểu thức N=$ \displaystyle \dfrac{{\sqrt{{4+\sqrt{3}}}+\sqrt{{4-\sqrt{3}}}}}{{\sqrt{{4+\sqrt{{13}}}}}}+\sqrt{{27-10\sqrt{2}}}$
Lời giải.
Ta có:
N=$ \displaystyle \dfrac{{\sqrt{2}(\sqrt{{4+\sqrt{3}}}+\sqrt{{4-\sqrt{3}}})}}{{\sqrt{{8+2\sqrt{{13}}}}}}+\sqrt{{25-10\sqrt{2}+2}}$
=$ \displaystyle \dfrac{{\sqrt{2}(\sqrt{{4+\sqrt{3}}}+\sqrt{{4-\sqrt{3}}})}}{{\sqrt{{(4+\sqrt{3})+2\sqrt{{4+\sqrt{3}}}\sqrt{{4-\sqrt{3}}}+(4+\sqrt{3})}}}}+\sqrt{{{(5-\sqrt{2})}^{2}}}$
$ \displaystyle =\dfrac{{\sqrt{2}(\sqrt{{4+\sqrt{3}}}+\sqrt{{4-\sqrt{3}}})}}{{\sqrt{{{(\sqrt{{4+\sqrt{3}}}+\sqrt{{4-\sqrt{3}}})}^{2}}}}}+\sqrt{{{(5-\sqrt{2})}^{2}}}=\dfrac{{\sqrt{2}(\sqrt{{4+\sqrt{3}}}+\sqrt{{4-\sqrt{3}}})}}{{\sqrt{{4+\sqrt{3}}}+\sqrt{{4-\sqrt{3}}}}}+\left| {5-\sqrt{2}} \right|=\sqrt{2}+5-\sqrt{2}=5$
Ví dụ 6. (Trích đề thi Chọn HSG tỉnh Long An năm 2012)
Không sử dụng máy tính, hãy thực hiện phép tính:
A = $ \dfrac{{\sqrt{{2-\sqrt{3}}}+\sqrt{{4-\sqrt{{15}}}}+\sqrt{{10}}}}{{\sqrt{{23-3\sqrt{5}}}}}$
Lời giải.
1/ Ta có:
A = $ \dfrac{{\sqrt{{2-\sqrt{3}}}+\sqrt{{4-\sqrt{{15}}}}+\sqrt{{10}}}}{{\sqrt{{23-3\sqrt{5}}}}}$ $ =\dfrac{{\sqrt{2}\left( {\sqrt{{2-\sqrt{3}}}+\sqrt{{4-\sqrt{{15}}}}+\sqrt{{10}}} \right)}}{{\sqrt{2}\left( {\sqrt{{23-3\sqrt{5}}}} \right)}}$
$ =\dfrac{{\sqrt{{4-2\sqrt{3}}}+\sqrt{{8-2\sqrt{{15}}}}+2\sqrt{5}}}{{\sqrt{{46-6\sqrt{5}}}}}$$ =\dfrac{{\sqrt{{{\left( {\sqrt{3}-1} \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( {\sqrt{5}-\sqrt{3}} \right)}^{2}}}+2\sqrt{5}}}{{\sqrt{{{\left( {3\sqrt{5}-1} \right)}^{2}}}}}$
$ =\dfrac{{\sqrt{3}-1+\sqrt{5}-\sqrt{3}+2\sqrt{5}}}{{3\sqrt{5}-1}}$$ =\dfrac{{3\sqrt{5}-1}}{{3\sqrt{5}-1}}$
= 1
Ví dụ 7. (Trích đề thi HSG huyện Nga Sơn-Thanh Hóa năm 2016-2017)
Rút gọn biểu thức: B = $ M>4.$
Lời giải.
Ta có:
$ 0<N=\dfrac{6}{M}<\dfrac{3}{2}$
Ví dụ 8. (Trích đề thi HSG huyện Thạch Hà năm 2016-2017)
So sánh $ \displaystyle N=\dfrac{6}{M}$ và $\dfrac{2.2016}{\sqrt{2017^2-1}+\sqrt{2016^2-1}}$
Lời giải. Ta có: $ M>\dfrac{{2\sqrt{a}}}{{\sqrt{a}}}+2=4$
$ 0<N=\dfrac{6}{M}<\dfrac{3}{2}$
$ \dfrac{{6\sqrt{a}}}{{a+1+2\sqrt{a}}}=1$
Vậy $ a-4\sqrt{a}+1=0$ > $ (\sqrt{a}-2)^{2}=3$
Ví dụ 9. (Trích đề thi HSG huyện Kim Thành năm học 2012-2013)
Rút gọn biểu thức $A=\dfrac{2 \sqrt{x}-9}{x-5 \sqrt{x}+6}-\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{2 \sqrt{x}+1}{3-\sqrt{x}}$
Lời giải.
Rút gọn biểu thức $A=\dfrac{2 \sqrt{x}-9}{x-5 \sqrt{x}+6}-\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{2 \sqrt{x}+1}{3-\sqrt{x}}$
ĐKXĐ: x ≠ 4; x ≠ 9
$\dfrac{2 \sqrt{x}-9}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)}-\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{2 \sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}=\dfrac{2 \sqrt{x}-9-x+9+2 x-3 \sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)}=\dfrac{x-\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)}$
$=\dfrac{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)}=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}$
2) Các bài toán rút gọn có sử dụng ẩn phụ để đơn giản hóa bài toán
Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức: $ A=\dfrac{2}{{\sqrt[4]{7}}}-\sqrt[4]{7}-\dfrac{{\sqrt{7}-\dfrac{1}{{\sqrt{7}}}}}{{\sqrt[4]{7}-\sqrt{{\dfrac{1}{{\sqrt{7}}}}}}}+\dfrac{6}{{\sqrt{7}\left( {\sqrt[4]{7}+\sqrt{{\dfrac{1}{{\sqrt{7}}}}}} \right)}}+\dfrac{7}{{\sqrt[4]{{343}}}}.$
Lời giải.
Đặt $ a=\sqrt[4]{7}\Rightarrow a^{4}=7$ và $ a^{2}=\sqrt{7}$ ta có:
$ \begin{array}{l}A=\dfrac{2}{a}-a-\dfrac{{a^{2}-\dfrac{1}{{a^{2}}}}}{{a-\dfrac{1}{a}}}+\dfrac{6}{{a^{2}\left( {a+\dfrac{1}{a}} \right)}}+\dfrac{7}{{a^{3}}}=\dfrac{{1-2a^{2}}}{a}+\dfrac{{13a^{2}+7}}{{a^{3}(a^{2}+1)}}\\=\dfrac{{a^{4}+a^{2}-2a^{6}-2a^{4}+13a^{2}+a^{4}}}{{a^{3}(a^{2}+1)}}=\dfrac{{2a^{2}(7-a^{4})}}{{a^{3}(a^{2}+1)}}=0\end{array}$
Do $ a^{4}=7$
Ví dụ 2.
Rút gọn biểu thức: $ B=\dfrac{2}{{\sqrt{{4-3\sqrt[4]{5}-2\sqrt[4]{{25}}-\sqrt[4]{{125}}}}}}.$
Lời giải.
Đặt $ b=\sqrt[4]{5}\Rightarrow b^{2}=\sqrt[4]{{25}},b^{3}=\sqrt[4]{{125}},b^{4}=5,b^{6}=5b^{2},b^{5}=5b.$
Ta có: $ B=\dfrac{2}{{\sqrt{{4-3b+2b^{2}-3b^{3}}}}}$
Mặt khác:
$ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{b^{3}-2b^{2}+3b-4}}=\dfrac{1}{{(b^{3}+3b)-(2b^{2}+4)}}=\dfrac{{(b^{3}+3b)+(2b^{2}+4)}}{{{(b^{3}+3b)}^{2}-{(2b^{2}+4)}^{2}}}\\=\dfrac{{b^{3}+3b+2b^{2}+4}}{{-2b^{2}-6}}=-\dfrac{{(b^{3}+2b^{2}+3b+4)(b^{2}-3)}}{{2(b^{4}-9)}}=\dfrac{{b^{5}+2b^{4}-2b^{2}-9b-12}}{8}\\=\dfrac{{-b^{2}-2b-1}}{4}=-\left( {\dfrac{{b+1}}{2}} \right)^{2}.\end{array}$
Vậy $ B=2\sqrt{{{\left( {\dfrac{2}{{b+1}}} \right)}^{2}}}=\dfrac{4}{{b+1}}=\dfrac{4}{{\sqrt[4]{5}+1}}.$
3) Rút gọn biểu thức căn thức chứa một hay nhiều ẩn số
Thí dụ 1. (Trích đề thi HSG tỉnh Hải Dương năm 2012-2013)
Rút gọn biểu thức: $ \mathrm{A=}\left( {\sqrt{{\mathrm{x}-\sqrt{{\mathrm{50}}}}}-\sqrt{{\mathrm{x+}\sqrt{{\mathrm{50}}}}}} \right)\sqrt{{\mathrm{x+}\sqrt{{\mathrm{x}^{\mathrm{2}}-\mathrm{50}}}}}$ với $ \mathrm{x}\ge \sqrt{{50}}$
Lời giải.
a) Ta có :
$ \displaystyle \begin{array}{l}\mathrm{A}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}\left( {\sqrt{{\mathrm{x-}\sqrt{{\mathrm{50}}}}}\mathrm{-}\sqrt{{\mathrm{x+}\sqrt{{\mathrm{50}}}}}} \right)^{\mathrm{2}}\left( {\mathrm{x+}\sqrt{{\mathrm{x}^{\mathrm{2}}\mathrm{-50}}}} \right)\Rightarrow \mathrm{A}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}\left( {\mathrm{x-}\sqrt{{\mathrm{50}}}\mathrm{+x+}\sqrt{{\mathrm{50}}}\mathrm{-2}\sqrt{{\mathrm{x}^{\mathrm{2}}\mathrm{-50}}}} \right)\left( {\mathrm{x+}\sqrt{{\mathrm{x}^{\mathrm{2}}\mathrm{-50}}}} \right)\\\Rightarrow \mathrm{A}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}\left( {\mathrm{2x-2}\sqrt{{\mathrm{x}^{\mathrm{2}}\mathrm{-50}}}} \right)\left( {\mathrm{x+}\sqrt{{\mathrm{x}^{\mathrm{2}}\mathrm{-50}}}} \right)\Rightarrow \mathrm{A}^{\mathrm{2}}\mathrm{=2}\left( {\mathrm{x}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{x}^{\mathrm{2}}\mathrm{+50}} \right)\end{array}$
Vậy: $ \displaystyle \mathrm{A}^{\mathrm{2}}\mathrm{=100}$
Nhưng do theo giả thiết ta thấy $ \mathrm{A=}\left( {\sqrt{{\mathrm{x-}\sqrt{{\mathrm{50}}}}}\mathrm{-}\sqrt{{\mathrm{x+}\sqrt{{\mathrm{50}}}}}} \right)\sqrt{{\mathrm{x+}\sqrt{{\mathrm{x}^{\mathrm{2}}\mathrm{-50}}}}}$<0
$ \Rightarrow \text{A= -10}$
Thí dụ 2. (Trích đề thi HSG Hải Dương năm 2013-2014)
Rút gọn biểu thức $ \displaystyle A=\dfrac{{\sqrt{{1-\sqrt{{1-x^{2}}}}}.\left( {\sqrt{{{(1+x)}^{3}}}+\sqrt{{{(1-x)}^{3}}}} \right)}}{{2-\sqrt{{1-x^{2}}}}}$với $ \displaystyle -1\le x\le 1$.
Lời giải.
a) Ta có: $ \displaystyle A=\dfrac{{\sqrt{{1-\sqrt{{1-x^{2}}}}}.\left( {\sqrt{{1+x}}+\sqrt{{1-x}}} \right)\left( {2-\sqrt{{1-x^{2}}}} \right)}}{{2-\sqrt{{1-x^{2}}}}}$
$ \displaystyle =\sqrt{{1-\sqrt{{1-x^{2}}}}}.\left( {\sqrt{{1+x}}+\sqrt{{1-x}}} \right)$
$ \displaystyle =\sqrt{{\left( {1-\sqrt{{1-x^{2}}}} \right){\left( {\sqrt{{1+x}}+\sqrt{{1-x}}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{\left( {1-\sqrt{{1-x^{2}}}} \right)\left( {2+2\sqrt{{1-x^{2}}}} \right)}}$
$ \displaystyle =\sqrt{{2x^{2}}}$ = $ \displaystyle \left| x \right|\sqrt{2}$
Thí dụ 3. (Trích đề thi HSG T.P Bắc Giang năm 2016-2017)
Cho biểu thức M=$ \dfrac{{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}}{{a-b}}-\dfrac{a}{{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}-\dfrac{b}{{\sqrt{b}-\sqrt{a}}}$ với a, b > 0 và a$ \ne $b
Rút gọi M và tính giá trị biểu thức M biết $ \left( {1-a} \right)\left( {1-b} \right)+2\sqrt{{ab}}=1$
Lời giải.
Rút gọn M=$ \displaystyle \dfrac{{\sqrt{{ab}}}}{{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}$ với a, b>0 và a$ \ne $b
-Ta có
$ \begin{array}{l}\left( {1-a} \right)\left( {1-b} \right)+2\sqrt{{ab}}=1\Leftrightarrow ab-a-b+1+2\sqrt{{ab}}=1\\\Leftrightarrow ab=\left( {\sqrt{a}-\sqrt{b}} \right)^{2}\Leftrightarrow (\dfrac{{\sqrt{{ab}}}}{{\sqrt{a}-\sqrt{b}}})^{2}=1\Leftrightarrow \left| {\dfrac{{\sqrt{{ab}}}}{{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}} \right|=1\end{array}$
+ Nếu a>b>0
$ \displaystyle \begin{array}{l}\Rightarrow \sqrt{a}>\sqrt{b}\Rightarrow \sqrt{a}-\sqrt{b}>0;\sqrt{{ab}}>0\Rightarrow \dfrac{{\sqrt{{ab}}}}{{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}>0\\\Rightarrow \left| {\dfrac{{\sqrt{{ab}}}}{{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}} \right|=\dfrac{{\sqrt{{ab}}}}{{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}\Rightarrow \dfrac{{\sqrt{{ab}}}}{{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}=1\Rightarrow M=1\end{array}$
+ nếu 0<a<b
$ \displaystyle \begin{array}{l}\Rightarrow \sqrt{a}<\sqrt{b}\Rightarrow \sqrt{a}-\sqrt{b}<0;\sqrt{{ab}}>0\Rightarrow \dfrac{{\sqrt{{ab}}}}{{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}<0\\\Rightarrow \left| {\dfrac{{\sqrt{{ab}}}}{{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}} \right|=\dfrac{{-\sqrt{{ab}}}}{{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}\Rightarrow \dfrac{{-\sqrt{{ab}}}}{{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}=1\Rightarrow M=-1\end{array}$
(Trích đề thi HSG huyện Nga Sơn-Thanh Hóa năm 2016-2017)
Thí dụ 4. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x:
A = $ \displaystyle M=\dfrac{{a+1}}{{\sqrt{a}}}+\dfrac{{a\sqrt{a}-1}}{{a-\sqrt{a}}}+\dfrac{{a^{2}-a\sqrt{a}+\sqrt{a}-1}}{{\sqrt{a}-a\sqrt{a}}}$
Điều kiện x ≥ 0, x ≠ 4; x ≠ 9; x ≠ 1
Lời giải.
Ta có:
$ \begin{array}{l}A\,\,=\,\,\dfrac{{6x-(x+6)\sqrt{x}-3}}{{2(x-4\sqrt{x}+3)(2-\sqrt{x})}}-\dfrac{3}{{-2x+10\sqrt{x}-12}}-\dfrac{1}{{3\sqrt{x}-x-2}}\\A\,\,=\,\,\dfrac{{6x-(x+6)\sqrt{x}-3}}{{2(2-\sqrt{x})(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}-1)}}-\dfrac{3}{{2(\sqrt{x}-3)(2-\sqrt{{x)}}}}-\dfrac{1}{{(2-\sqrt{x})(\sqrt{x}-1)}}\end{array}$
Do x $ \displaystyle \dfrac{{a\sqrt{a}-1}}{{a-\sqrt{a}}}=\dfrac{{(\sqrt{a}-1)(a+\sqrt{a}+1)}}{{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}}=\dfrac{{a+\sqrt{a}+1}}{{\sqrt{a}}}$0; x ≠ 1; x ≠ 4; x ≠ 9
A = $ \displaystyle \dfrac{{a^{2}-a\sqrt{a}+\sqrt{a}-1}}{{\sqrt{a}-a\sqrt{a}}}=\dfrac{{(a+1)(a-1)-\sqrt{a}(a-1)}}{{\sqrt{a}(1-a)}}=\dfrac{{(a-1)(a-\sqrt{a}+1)}}{{\sqrt{a}(1-a)}}=\dfrac{{-a+\sqrt{a}-1}}{{\sqrt{a}}}$
A = $ M=\dfrac{{a+1}}{{\sqrt{a}}}+2$
A = $ a>0;\,\,a\ne 1$
A = $ (\sqrt{a}-1)^{2}>0\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,a+1>2\sqrt{a}$= $ M>\dfrac{{2\sqrt{a}}}{{\sqrt{a}}}+2=4$ => ĐPCM
Thí dụ 5. (Trích đề thi HSG T.P Bắc Giang năm 2016-2017)
Cho a, b là số hữu tỉ thỏa mãn $ \left( {a^{2}+b^{2}-2} \right)\left( {a+b} \right)^{2}$+$ (1-ab)^{2}=-4ab$
Chứng minh $ \sqrt{{1+ab}}$ là số hữu tỉ
Lời giải.
Ta có:
$ \displaystyle \text{(GT)}\Rightarrow \left[ {{\left( {\text{a}+\text{b}} \right)}^{\text{2}}-\text{2(ab}+\text{1)}} \right]\text{(a}+\text{b)}^{\text{2}}+\left( {\text{1}+\text{ab}} \right)^{\text{2}}=0$
$ \displaystyle \Leftrightarrow \left( {\text{a}+\text{b}} \right)^{\text{4}}-\text{2(a}+\text{b}\text{)}^{\text{2}}\text{(1}+\text{ab)}+\text{(1}+\text{ab)}^{\text{2}}=\text{0}$
$ \displaystyle \Leftrightarrow \left[ {{\left( {\text{a}+\text{b}} \right)}^{\text{2}}-\text{(1}+\text{ab)}} \right]^{\text{2}}=\text{0}\Rightarrow \text{(a}+\text{b)}^{\text{2}}\text{-(1}+\text{ab)=0}$
$ \displaystyle \Leftrightarrow \text{(a}+\text{b)}^{\text{2}}=\text{1}+\text{ab}\Leftrightarrow \left| {\text{a}+\text{b}} \right|=\sqrt{{\text{1}+\text{ab}}}\in \text{Q}$ vì a, b ∈ Q.