Tìm các số chưa biết trong dãy tỉ số bằng nhau

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Để tìm số chưa biết trong dãy tỉ số bằng nhau, ta thường làm như sau:

– Cách 1: Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, biến đổi để xuất hiện điều kiện đã cho của đề bài. Từ đó tính được giá trị của dãy tỉ số bằng nhau.

– Cách 2: Phương pháp “đặt k” theo 3 bước sau:

• Bước 1: Đặt $ \displaystyle \dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}=k$
• Bước 2: Rút x = a.k; y = b.k; z = c.k.
• Bước 3: Thay các giá trị trên của x, y, z vào điều kiện đã cho của đề bài, tìm được giá trị của k. Từ đó suy ra các giá trị của x,y,z.

BÀI TẬP MINH HỌA

1A. a) Cho $ \displaystyle \dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{6}$. Tìm x,y biết:

i) x + y = 90 ; ii) 4x – y = 42;
iii) xy = 162;                            iv) 2x² – y² = – 8.

b) Cho $ \displaystyle \dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{5}$ . Tìm x, y, z biết

i) x + y + z = 30; ii) x – 2y + 3z = 22;

iii) xyz = – 240;                        iv) x² + 3y² – z² = 150.

c) Cho 2x-3y + z = 42. Tìm x, y, z biết:

i) $ \displaystyle \dfrac{{x+1}}{3}=\dfrac{{y-2}}{4}=\dfrac{{z-1}}{{13}}$; ii) $ \displaystyle \dfrac{x}{{-3}}=\dfrac{y}{5};\dfrac{y}{2}=\dfrac{z}{7}$;

iii) 6x =  4y = z;                        iv) x = -2y; 7y = 2z.

1B. a) Cho $ \displaystyle \dfrac{x}{4}=\dfrac{y}{5}$. Tìm x, y biết:

i) x + y = 54;                    ii) 3x – 2y = 8;
iii) xy = 80;                              iv) x² –  3y² = – 59.

b) Cho $ \displaystyle \dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{5}=\dfrac{z}{6}$. Tìm x, y, z biết:

i) x + y + z = 56; ii) x – 2y + 3z = – 33;

iii) xyz = 720;                          iv) x² – 4y² + 2z²  = – 475.

c) Cho x – 2y + 3z = 56. Tìm. x, y, z biết:

i) $ \displaystyle \dfrac{{x-3}}{7}=\dfrac{{y+1}}{2}=\dfrac{{z+3}}{4}$; ii) $ \displaystyle \dfrac{x}{6}=\dfrac{y}{{-7}};\dfrac{x}{3}=\dfrac{z}{8}$;

iii)  3x – 4y = 2z;                       iv) 2x = -3y; 7y = -10z.

HƯỚNG DẪN GIẢI

1A. a) i)Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ( DTSBN) ta có $ \displaystyle \dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{6}=\dfrac{{x+y}}{{3+6}}=\dfrac{{90}}{9}=10$, từ đó tìm được x = 30; y= 60.

ii) Từ đề bài ta suy ra $ \displaystyle \dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{6}=\dfrac{{4x}}{{12}}$. Áp dụng tính chất của DTSBN ta có $ \displaystyle \dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{6}=\dfrac{{4x}}{{12}}=\dfrac{{4x-y}}{{12-6}}=\dfrac{{42}}{6}=7$, từ đó tìm được x = 21; y = 42

iii) Đặt $ \displaystyle \dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{6}=k$ => x = 3k ; y = 6k

Thay vào xy = 162 ta có xy = 18k² = 162 => k = $ \displaystyle \pm $3

Nếu k = 3 => x= 9; y= 18. Nếu k =-3 => x = -9; y= -18

iv) Đặt $ \displaystyle \dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{6}$= k => x = 3k ; y = 6k
Suy ra 2x² – y² = 18k² – 36k² = -8 => x = $ \displaystyle \pm \dfrac{2}{3}$

Nếu k = $ \displaystyle \dfrac{2}{3}$=> x = 2; y =4 .nếu k = -$ \displaystyle \dfrac{2}{3}$=> x = -2 ; y = -4

b) i) Áp dụng tính chất của DTSBN ta có

$ \displaystyle \pm \dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{5}=\dfrac{{x+y+z}}{{2+3+5}}=\dfrac{{30}}{{10}}=3=>x=6;y=9;z=15$

ii) Ta tìm được $ \displaystyle x=\dfrac{{76}}{{11}};y=\dfrac{{114}}{{11}};z=\dfrac{{190}}{{11}}$
iii) Đặt $ \displaystyle \dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{5}$ = k => x = 2k ; y = 3k; z= 5k

Do đó xy= 2k.3k.5k = -240 => k = -2 => x = -4; y = -6; z = -10

iv) Đặt $ \displaystyle \dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{5}$ = k => x = 2k; y= 3k; z= 5k => k = $ \displaystyle \pm $5

Nếu k = 5 => x = 10; y = 15; z= 25

Nếu k = -5 => x = -10; y = -15; z = -25

c) i) ta có; theo tính chất của DTSBN ta có

$ \displaystyle x=\dfrac{{x+1}}{3}=\dfrac{{y-2}}{4}=\dfrac{{z-1}}{{13}}=\dfrac{{2(x-1)-39y-2)+z-1}}{{2.3-3.4+13}}$ => x = 20; y= 30; z = 92

ii) Ta có $ \displaystyle \dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{{-5}}=>\dfrac{x}{{-6}}=\dfrac{y}{{10}}$ và $ \displaystyle \dfrac{y}{2}=\dfrac{z}{7}=>\dfrac{y}{{10}}=\dfrac{z}{{35}}$
Do đó $ \displaystyle \dfrac{x}{{-6}}=\dfrac{y}{{10}}=\dfrac{z}{{35}}=\dfrac{{2x-3y+z}}{{-12-30+35}}=\dfrac{{42}}{{-7}}=-6$ => x= 36; y = 60 ; z = -210

iii)  Ta có 6x = 4y = z => $ \displaystyle \dfrac{{6x}}{{12}}=\dfrac{{4x}}{{12}}=\dfrac{z}{{12}}=>\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{{12}}$

Do đó $ \displaystyle \dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{{12}}=\dfrac{{2x-3y+z}}{{4-9+12}}=\dfrac{{42}}{7}=6$ => x = 12 ; y = 18 ; z = 72

iv) Ta có ; x = -2y => $ \displaystyle \dfrac{x}{{-2}}=\dfrac{y}{1}$ và 7y = 2z => $ \displaystyle \dfrac{y}{2}=\dfrac{z}{7}$

Do đó $ \displaystyle \dfrac{x}{{-4}}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z}{7}=\dfrac{{2x-3y+z}}{{-8-6+7}}=\dfrac{{42}}{7}=-6$ => x = 24 ; y= -12; z = -42

1B. Tương tự 1A

a) i) x= 24 ; y- 30 ii) x = 16 ; y = 20

iii) x = 8; y =10 hoặc x =-8 ; y = -10

iv) x = 4 ; y = 5 hoặc x = -4 ; y= -5
b) i) x = 12 ; y= 20 ; z = 24 ii) x = -9 ; y= -15; z = -18
iii) x = 6 ; y = 10 ; z= 12

iv) x = 15; y+ 25; z = 30 hoặc x = -15; y= -25; z= -30

c) i) x = 31 ; y= 7 ; z = 13 ii) x = -12; y = 14; z = 32

iii) x = 8 ; y = -6 ; z = 12                     iv) x = 15 ; y = -10; z = 7