Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức nghiệm phương trình bậc 2

CÁCH LÀM

Cũng tương tự như những dạng bài trên ta áp dụng hệ thức Vi-et để biến đổi biểu thức đã cho rồi tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).

VÍ DỤ

Ví dụ 1:  Cho phương trình:      $ x^{2}-(m-1)x-m^{2}+m-2=0$

Gọi 2 nghiệm của phương trình là x₁ và x₂. Tìm giá trị của m để $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải: Ta có: $ \displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left( {x_{1}+x_{2}} \right)^{2}-2x_{1}x_{2}$

$ =(m-1)^{2}-2(-m^{2}+m-2)$ = $ m^{{^{2}}}-2m+1+2m^{2}-2m+4=3m^{2}-4m+5$

$ =3\left( {m^{2}-\dfrac{4}{3}m+\dfrac{5}{3}} \right)=3(m^{2}-2m\dfrac{2}{3}+\dfrac{4}{9}+\dfrac{{11}}{9})$$ =3(m-\dfrac{2}{3})^{2}+\dfrac{{11}}{3}\ge \dfrac{{11}}{3}$

Vậy GTNN của  $ \left( {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}} \right)$ là  $ \dfrac{{11}}{3}$khi  m =$ \dfrac{2}{3}$

Ví dụ 2: Cho phương trình x² – 2(m+4)x + m²  – 8 = 0 (1) trong đó m là tham số.

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn: A = x₁ + x₂ – 3x₁x₂ đạt GTLN.

Giải: Ta có $ \Delta $’ = (m+4)² – (m²-8) = m² + 8m + 16 – m² + 8 = 8m + 24

Để phương trình (1) có 2 nghiệm thì: $ \Delta $’ $ \ge $0 $ \Leftrightarrow $8m + 24 $ \ge $0 $ \Leftrightarrow $m $ \ge $ – 3

Ta có: x₁ + x₂ = 2(m+4);  x₁x₂ = (m² – 8)

A = x₁ + x₂ – 3x₁x₂ = 2m+ 8 – 3(m² – 8) = -3m² + 2m + 32

A = -3(m² – $ \dfrac{2}{3}$m + $ \dfrac{1}{9})+\dfrac{{97}}{3}=-3(m-\dfrac{1}{3})^{2}+\dfrac{{97}}{3}\ge \dfrac{{97}}{3}$

Vậy Max A = $ \dfrac{{97}}{3}$. Dấu ‘=’ xảy ra khi $ m =\dfrac{1}{3}$

Ví dụ 3*:  Cho phương trình x² + 2x – m = 0  (1) . (x ; là ẩn, m là tham số)

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm. Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm (có thể bằng nhau) của phương trình (1). Tính biểu thức P = x₁⁴ + x₂⁴ theo m, tìm m để P đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải:

Phương trình (1) là phương trình bậc 2 (vì hệ số của x² là 1 ≠ 0) có

$ \Delta $’ = 1 + m $ \ge $0  $ \Leftrightarrow $ m $ \ge $ – 1.

Vậy phương trình (1) có nghiệm $ \Rightarrow $ m $ \ge $ –1.

Khi đó, áp dụng định lý Vi-ét, ta có:   x₁ + x₂ = –2 ;  x_1.x₂ = – m

Do đó, P = x₁⁴ + x₂⁴ = (x₁² + x₂²)² – 2 x₁².x₂²

= [(x₁ + x₂)² – 2 x₁.x₂] ² – 2(x₁.x₂)²

= (4 + 2m)² – 2m²  = 2m² + 16m + 16.

Vì m $ \ge $ –1  $ \Leftrightarrow $ m + 1 $ \ge $ 0  nên ta có:

P =  2m² + 16m + 16   = 2(m² + 2m + 1) + 12m + 14   =  2(m + 1)² + 12(m + 1) + 2  $ \ge $ 2

Suy ra P đạt giá trị nhỏ nhất là 2 khi và chỉ khi m + 1 = 0 ⇔ m = –1.

Ví dụ 4:  Cho a, b, c là 3 số thực thoả mãn điều kiện: Tìm GTNN của a (Xác định b, c khi a Min)

Giải:

Từ giả thiết bài toán ta có:

Theo Viet: b, c là nghiệm của phương trình bậc 2: x² – (a³ – a)x + a² = 0

⇒ Δ = (a³ – a)²  – 4a² ≥ 0 ⇒ a² [(a² – 1)² – 4] ⇒ 0  ⇔(a² – 3) (a² + 1) ≥ 0 ⇔ a² – 3 ≥ 0 ⇔ a² ≥ 3

⇒ a ≥ √3  (a > 0) ⇒ min a = √3 tại b = c = √3.

Vậy: a_min = √3 tại b = c = √3

Ở bài toán trên do vai trò của a, b, c như nhau nên có thể yêu cầu tìm Min của 1 trong các biến a, b, c.

Ví dụ 5:  Cho phương trình $x^2-m x+m-1=0$

Gọi  và  là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị  lớn nhất của biểu thức sau:

$B=\frac{2 x_1 x_2+3}{x_1^2+x_2^2+2\left(x_1 x_2+1\right)}$

Giải:

Ta có: Theo hệ thức Vi -ét thì : $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x_{1}+x_{2}=m\\x_{1}x_{2}=m-1\end{array} \right.$

$ \displaystyle \Rightarrow B=\dfrac{{2x_{1}x_{2}+3}}{{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2\left( {x_{1}x_{2}+1} \right)}}=\dfrac{{2x_{1}x_{2}+3}}{{{(x_{1}+x_{2})}^{2}+2}}=\dfrac{{2(m-1)+3}}{{m^{2}+2}}=\dfrac{{2m+1}}{{m^{2}+2}}$

Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn

Ta biến đổi B như sau:   $ \displaystyle B=\dfrac{{m^{2}+2-\left( {m^{2}-2m+1} \right)}}{{m^{2}+2}}=1-\dfrac{{{\left( {m-1} \right)}^{2}}}{{m^{2}+2}}$

Vì $ \displaystyle \left( {m-1} \right)^{2}\ge 0\Rightarrow \dfrac{{{\left( {m-1} \right)}^{2}}}{{m^{2}+2}}\ge 0\Rightarrow B\le 1$

Vậy $ \displaystyle \max \text{B=1}\Leftrightarrow $ m = 1

Với cách thêm bớt khác ta lại có:

$ \displaystyle B=\dfrac{{\dfrac{1}{2}m^{2}+2m+1-\dfrac{1}{2}m^{2}}}{{m^{2}+2}}=\dfrac{{\dfrac{1}{2}\left( {m^{2}+4m+4} \right)-\dfrac{1}{2}\left( {m^{2}+2} \right)}}{{m^{2}+2}}=\dfrac{{{\left( {m+2} \right)}^{2}}}{{2\left( {m^{2}+2} \right)}}-\dfrac{1}{2}$

Vì $ \displaystyle \left( {m+2} \right)^{2}\ge 0\Rightarrow \dfrac{{{\left( {m+2} \right)}^{2}}}{{2\left( {m^{2}+2} \right)}}\ge 0\Rightarrow B\ge -\dfrac{1}{2}$

Vậy $ \displaystyle \min B=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow m=-2$

Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện cho tham số B để phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

$ \displaystyle B=\dfrac{{2m+1}}{{m^{2}+2}}\Leftrightarrow Bm^{2}-2m+2B-1=0$    (Với m là ẩn, B là tham số)       (**)

Ta có: $ \displaystyle \Delta =1-B(2B-1)=1-2B^{2}+B$

Để phương trình (**) luôn có nghiệm với mọi m thì Δ ≥ 0

hay $ \displaystyle -2B^{2}+B+1\ge 0\Leftrightarrow 2B^{2}-B-1\le 0\Leftrightarrow \left( {2B+1} \right)\left( {B-1} \right)\le 0$

$ \displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2B+1\le 0\\B-1\ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2B+1\ge 0\\B-1\le 0\end{array} \right.\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}B\le -\dfrac{1}{2}\\B\ge 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}B\ge -\dfrac{1}{2}\\B\le 1\end{array} \right.\end{array} \right.\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}\le B\le 1$

Vậy:  $ \displaystyle \max \text{B=1}\Leftrightarrow $ m = 1

$ \displaystyle \min B=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow m=-2$

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Tìm m để phương trình $ \displaystyle x^{2}-2(m-4)x+m^{2}-8=0$ có hai nghiệm $ \displaystyle x_{1};x_{2}$ thỏa mãn:

a) $ \displaystyle A=x_{1}+x_{2}-3x_{1}x_{2}$ đạt giá trị lớn nhất

b) $ \displaystyle B=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 2: Cho phương trình $ \displaystyle x^{2}+(4m+1)x+2(m-4)=0$ có hai nghiệm $ \displaystyle x_{1};x_{2}$.

Tìm m để $ \displaystyle A=(x_{1}-x_{2})^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 3: ( Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT 2004 – 2005 )

Cho phương trình $ \displaystyle \left( {m^{4}+1} \right)x^{2}-m^{2}x-(m^{2}-2m+2)=0$ (1)

a) Giải phương trình (1) khi m = 1

b) Gọi $ \displaystyle x_{1};x_{2}$ là nghiệm của phương trình (1).Tìm giá trị lớn nhất của $ \displaystyle x_{1}+x_{2}$

Bài 4: (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2008 – 2009)

Cho phương trình $ \displaystyle x^{2}-(3m-1)x+2(m^{2}-1)=0$ (1) ,(m là tham số)

a) Giải phương trình (1) khi m = 2

b) Chứng minh (1) luôn có nghiệm với mọi m

c) Gọi $ \displaystyle x_{1};x_{2}$ là hai nghiệm của (1), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ \displaystyle A=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$

Bài 5: Cho phương trình $ \displaystyle x^{2}-2(m-1)x-3-m=0$ . Tìm m để hai nghiệm $ \displaystyle x_{1};x_{2}$

thỏa mãn $ \displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\ge 10$.

Bài 6*: Cho phương trình $ \displaystyle x^{2}+(m-2)x-8=0$, với m là tham số.

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ sao cho biểu thức

Q = $ \displaystyle (x_{1}^{2}-1)(x_{2}^{2}-4)$ có giá trị lớn nhất.

HD:

$ \displaystyle \Delta =\left( {m-2} \right)^{2}+8>0$  với mọi m. Vậy pt có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Do $ \displaystyle x_{1}x_{2}=-8$ nên $ \displaystyle x_{2}=\dfrac{{-8}}{{x_{1}}}$

$ \displaystyle Q=(x_{1}^{2}-1)(x_{2}^{2}-4)=(x_{1}^{2}-1)(\dfrac{{64}}{{x_{1}^{2}}}-4)=68-4(x_{1}^{2}+\dfrac{{16}}{{x_{1}^{2}}})\,\,\,\le 68-4.8\,$= 36 .Do  $ \displaystyle x_{1}^{2}+\dfrac{{16}}{{x_{1}^{2}}}$$ \displaystyle \ge $8 . Ta có

Q = 36 khi và chỉ khi $ \displaystyle x_{1}=\pm \,\,\,2$

Khi$ \displaystyle ~x_{1}=2$ thì m = 4, khi x₁ = -2 thì m = 0. Do đó ta có giá trị lớn nhất của Q = 36 khi và chỉ khi m = 0 hay m = 4 .

Bài 7: Cho phương trình x² – 2(m+4)x + m²  – 8 = 0

Tìm m để phương trình x₁, x₂ thỏa mãn :

A = x²₁ + x²₂ –  x₁ –  x₂ đạt GTNN.

B = x²₁ + x²₂ –  x₁ x₂ đạt GTNN.

Bài 8: Cho phương trình x² – 2mx + m² – 1 =0 (x là ẩn, m là tham số).

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x­­₁ , x₂ sao cho tổng P = x₁²  + x₂² đạt giá trị nhỏ nhất.