Cách tính nhanh dãy phân số có quy luật

Học Toán 123 chia sẻ cách tính nhanh dãy phân số có quy luật dành cho học sinh lớp 5 nâng cao kiến thức, ôn thi học sinh giỏi.

Dưới đây là các dạng bài mà các em cần tìm hiểu và ghi nhớ.

A. DÃY PHÂN SỐ CÓ QUY LUẬT MẪU SỐ SAU GẤP MẪU SỐ TRƯỚC 1 SỐ KHÔNG ĐỔI

1. Kiến thức ghi nhớ

Quy luật mẫu số là dãy số tăng theo cấp số nhân

Đây là dạng toán liên quan đến tính tổng của 1 loạt các phân số mà mẫu số phân số sau gấp mẫu số phân số trước cùng 1 số lần.

2. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tính giá trị $\displaystyle A=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{{16}}+\frac{1}{{32}}+\frac{1}{{64}}$

Phân tích: Nhận xét thấy mẫu số phân số sau hơn mẫu số phân số ngay trước là 2 lần. Như vậy khi ta nhân thêm 2 vào thì phân số phía sau sẽ trở thành phân số phía trước.

Ví dụ: $\displaystyle 2\times \frac{1}{8}=\frac{1}{4}$ , như vậy sau khi nhân thêm 2 ta sẽ 1 loạt các phân số của biểu thức sau khi nhân giống với biểu thức trước khi nhân, rất thuận tiện để ta giản ước.

Giải:

Ta có:

$\displaystyle A=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{{16}}+\frac{1}{{32}}+\frac{1}{{64}}$   (1)

$\displaystyle 2\text{x}A=2\times \left( {\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{{16}}+\frac{1}{{32}}+\frac{1}{{64}}} \right)$

$\displaystyle 2\times A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{{16}}+\frac{1}{{32}}$   (2)

Nhìn vào (1) và (2), chúng ta nhận xét thấy ở A và 2 x A có rất nhiều phân số giống nhau, chỉ khác nhau phân số đầu tiên và phân số cuối cùng. Nếu ta trừ 2 vế cho nhau thì được:

$\displaystyle A=2\times A-A=\left( {1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{{16}}+\frac{1}{{32}}} \right)-\left( {\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{{16}}+\frac{1}{{32}}+\frac{1}{{64}}} \right)$

$\displaystyle A=1-\frac{1}{{64}}=\frac{{63}}{{64}}$

Bài 2:Tính $\displaystyle A=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{{27}}+\frac{1}{{81}}+\frac{1}{{243}}+\frac{1}{{729}}$

Giải: Ta có: $\displaystyle A=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{{27}}+\frac{1}{{81}}+\frac{1}{{243}}+\frac{1}{{729}}$

⇒ $\displaystyle 3\times \text{A}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{{27}}+\frac{1}{{81}}+\frac{1}{{243}}$

Trừ hai vế ta có:

$\displaystyle 3\times \text{A}-\text{A}=2\times \text{A}=\left( {1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{{27}}+\frac{1}{{81}}+\frac{1}{{243}}} \right)-\left( {\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{{27}}+\frac{1}{{81}}+\frac{1}{{243}}+\frac{1}{{729}}} \right)$

⇒ $\displaystyle 2\times \text{A}=1-\frac{1}{{729}}=\frac{{728}}{{729}}$

⇒ $\displaystyle A=\frac{{728}}{{729}}:2=\frac{{364}}{{729}}$

Chú ý: Ở bài này, mẫu số sau gấp mẫu số trước 3 lần, khi đó ta nhân thêm 3 để rồi trừ hai vế nhằm triệt tiêu các phân số ở giữa. Cần chú ý lúc này hiệu hai vế sẽ là 3 x A – A = 2 x A. Vì thế chúng ta cần chia cho 2 để tìm ra kết quả A. Học sinh thường ẩu và khi nháp không cẩn thận phần này nên quên chia 2 dẫn đến đáp số không đúng.

Bài 3: Tính giá trị: $\displaystyle A=\frac{2}{3}+\frac{2}{6}+\frac{2}{{12}}+\frac{2}{{24}}\ldots +\frac{2}{{768}}$

Ta thấy mẫu số của phân số sau của A gấp 2 lần mẫu số của phân số trước của A.

Ta có:

$\displaystyle 2\times \text{A}=2\times \frac{2}{3}+2\times \frac{2}{6}+2\times \frac{2}{{12}}+\ldots +2\times \frac{2}{{768}}=\frac{4}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2}{6}+\ldots +\frac{2}{{384}}$

⇒ $\displaystyle A=2\times A-A=\left( {\frac{4}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2}{6}+\ldots +\frac{2}{{384}}} \right)-\left( {\frac{2}{3}+\frac{2}{6}+\frac{2}{{12}}+\frac{2}{{24}}\ldots +\frac{2}{{768}}} \right)$

$\displaystyle =\frac{4}{3}-\frac{2}{{768}}=\frac{{511}}{{384}}$

Bài 4: Tính giá trị biểu thức sau: $\displaystyle S=\frac{3}{2}+\frac{5}{4}+\frac{9}{8}+\frac{{17}}{{16}}+\ldots +\frac{{1025}}{{1024}}$

Phân tích và Giải: Ở bài này chúng ta quan sát tử số và mẫu số, ta thấy tử số đều hơn mẫu số 1 đơn vị.

Ta nhận xét thấy: $\displaystyle \frac{3}{2}=1+\frac{1}{2};\frac{5}{4}=1+\frac{1}{4};\ldots .\frac{{1025}}{{1024}}=1+\frac{1}{{1024}}$

Vậy ta có: $\displaystyle \text{S}=1+\frac{1}{2}+1+\frac{1}{4}+1+\frac{1}{8}+\ldots +1+\frac{1}{{1024}}$

Vì số $\displaystyle 1024=2\times 2\times 2\times \ldots \times 2$ (có 10 số 2 nhân với nhau) nên ta có:

$\displaystyle \text{S}=(1+1+1+\ldots +1)+\left( {\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots +\frac{1}{{1024}}} \right)$

Đến đây, ta đã đưa được về bài toán cơ bản:

$\displaystyle \text{S}=10+\text{A}$ trong đó $\displaystyle \text{A}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots +\frac{1}{{1024}}$

Ta có: $\displaystyle 2\times \text{A}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots +\frac{1}{{512}}$

⇒ $\displaystyle A=2\times A-A=\left( {1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots +\frac{1}{{512}}} \right)-\left( {\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots +\frac{1}{{1024}}} \right)$

$\displaystyle =1-\frac{1}{{1024}}=\frac{{1023}}{{1024}}$

Vậy $\displaystyle \text{S}=10+\frac{{1023}}{{1024}}=\frac{{11263}}{{1024}}$ (hay viết dưới dạng hỗn số là $\displaystyle 10\frac{{1023}}{{1024}}$)

3. Bài tập tự giải

Bài 5: Tính giá trị: $\displaystyle A=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{{16}}+\frac{1}{{32}}+\frac{1}{{64}}+\frac{1}{{128}}+\frac{1}{{256}}+\frac{1}{{512}}+\frac{1}{{1024}}$

Bài 6: Tính giá trị: $\displaystyle A=\frac{3}{2}+\frac{3}{4}+\frac{3}{8}+\ldots +\frac{3}{{128}}$

Bài 7: Tính giá trị: $\displaystyle A=\frac{6}{5}+\frac{6}{{10}}+\frac{6}{{20}}+\frac{6}{{40}}+\ldots +\frac{6}{{640}}$

Bài 8: Tính giá trị: $\displaystyle A=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{{27}}+\frac{1}{{81}}+\ldots +\frac{1}{{2187}}$

Bài 9: Tính giá trị biểu thức: $ \displaystyle S=1+\frac{1}{5}+\frac{1}{{25}}+\frac{1}{{125}}+\ldots +\frac{1}{{15625}}$

Bài 10: Tính giá trị biểu thức sau:

$\displaystyle S=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{{12}}+\frac{1}{{16}}+\frac{1}{{24}}+\ldots +\frac{1}{{256}}+\frac{1}{{384}}$

Gợi ý: Tách thành tổng 2 dãy phân số có quy luật

Bài 11: Tính giá trị biểu thức sau:

$\displaystyle S=\frac{3}{2}+\frac{9}{4}+\frac{{25}}{8}+\frac{{65}}{{16}}+\frac{{161}}{{32}}+\ldots +\frac{{10241}}{{1024}}$

Gợi ý: Gợi ý cho bài này là hãy suy nghĩ và quan sát đề bài thật kỹ

Bài 12: Tính giá trị biểu thức sau:

$\displaystyle S=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{{16}}+\ldots +\frac{1}{{512}}-\frac{1}{{1024}}$

Gợi ý: Hãy nhân S x 2 rồi cộng hai vế.

Bài 13(*): Tính giá trị biểu thức:

$\displaystyle A=\frac{1}{{2\times 3}}+\frac{1}{{3\times 6}}+\frac{1}{{6\times 9}}+\frac{1}{{9\times 18}}+\frac{1}{{18\times 27}}+\frac{1}{{27\times 54}}$

Bài 14(*): Tính giá trị biểu thức:

$\displaystyle A=\frac{1}{{1\times 4}}+\frac{1}{{4\times 2}}+\frac{1}{{2\times 8}}+\frac{1}{{8\times 4}}+\frac{1}{{4\times 16}}+\frac{1}{{16\times 8}}$

Bài 15: Tính giá trị biểu thức sau:

$\displaystyle S=\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{7}{8}+\frac{{15}}{{16}}+\frac{{31}}{{32}}+\ldots +\frac{{1023}}{{1024}}$

2. DÃY PHÂN SỐ CÓ QUY LUẬT TRIỆT TIÊU LẪN NHAU

1. Kiến thức ghi nhớ

Đây là dạng toán yêu cầu tính tổng một dãy các phân số có quy luật, mà quy luật ở mẫu số là tích các thừa số. Ở dạng toán này, chúng ta cần phân tích mẫu số thành các thừa số có quy luật nhất định, nhận xét được mối liên quan giữa tổng, hoặc hiệu các thừa số ở mẫu số và tử số.

Bước 1: Phát hiện quy luật của mẫu số, tử số (thường sẽ là tích của các thừa số được lặp lại).

– Nếu đề bài chưa cho tích, ta hãy phân tích mẫu thành các tích

– Nếu phân tích rồi mà chưa được, ta hãy nhân thêm 1 số nào đó để phân tích được thành có quy luật.

– Mẫu số của phân số này gấp bao nhiên lần của phân số trước?

Bước 2: Nhận xét các thừa số ở mẫu.

– Hiệu các thừa số ở mẫu không thay đổi => dùng biến đổi: $\displaystyle \frac{{b-a}}{{a\times b}}=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$. Sau khi biến đổi sẽ được các phân số có tử số bằng nhau, mẫu số có lặp lại và triệt tiêu lẫn nhau.

– Tổng các thừa số ở mẫu số bằng tử số => dùng biến đổi: $\displaystyle \frac{{b+a}}{{a\times b}}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ sẽ có dấu +,- xen kẽ, khi đó ta cũng triệt tiêu được các số giống nhau.

– Nếu mẫu số sau gấp mẫu số trước 1 số lần => ta làm bằng cách nhân thêm đúng số lần đó…

– Nếu mẫu số hơn (kém) tử số cùng 1 số thì nghĩ đến chuyện lấy phần bù. Ví dụ: $\displaystyle \frac{9}{{10}}=1-\frac{1}{{10}}$

2. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tính giá trị của

$\displaystyle A=\frac{1}{{1\times 2}}+\frac{1}{{2\times 3}}+\frac{1}{{3\times 4}}+\ldots +\frac{1}{{99\times 100}}$

Phân tích: Đây là bài khá cơ bản. Ta thấy các thừa số ở mẫu số có quy luật là $\displaystyle 1\times 2,\,\,2\times 3,\,\,…$

Hơn nữa 2 – 1 = 1, 3 – 2 = 1, …như vậy hiệu hai thừa số ở mẫu số của mỗi phân số đều bằng nhau. Hơn

nữa ta thấy các phân số ở đây đều có sự “liên kết”: $\displaystyle 1\times 2,\,\,2\times 3,\,\,3\times 4,\,\,…$

Ta có:

$\displaystyle \frac{1}{{1\times 2}}=\frac{{2-1}}{{1\times 2}}=\frac{2}{{1\times 2}}-\frac{1}{{1\times 2}}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}$

$\displaystyle \frac{1}{{2\times 3}}=\frac{{3-2}}{{2\times 3}}=\frac{3}{{2\times 3}}-\frac{2}{{2\times 3}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$

…

$\displaystyle \frac{1}{{99\times 100}}=\frac{1}{{99}}-\frac{1}{{100}}$

đó ta có:

$\displaystyle A=\frac{1}{{1\times 2}}+\frac{1}{{2\times 3}}+\frac{1}{{3\times 4}}+\ldots +\frac{1}{{99\times 100}}$

$\displaystyle A=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\ldots .+\frac{1}{{99}}-\frac{1}{{100}}=1-\frac{1}{{100}}=\frac{{99}}{{100}}$

Bài 2: Tính giá trị của

$\displaystyle A=\frac{2}{{1\times 3}}+\frac{2}{{3\times 5}}+\frac{2}{{5\times 7}}+\ldots +\frac{2}{{99\times 101}}$

Phân tích: Ở bài này ta thấy mẫu số là các tích có khoảng cách các thừa số là 2 như 3 – 1 = 2; 5 – 3 = 2; 7 – 5 = 2…

Nhận thấy:

$\displaystyle \frac{2}{{1\times 3}}=\frac{{3-1}}{{1\times 3}}=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}$

$\displaystyle \frac{2}{{3\times 5}}=\frac{{5-3}}{{3\times 5}}=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$

$\displaystyle \frac{2}{{5\times 7}}=\frac{{7-5}}{{5\times 7}}=\frac{1}{5}-\frac{1}{7}$

…

$\displaystyle \frac{2}{{99\times 101}}=\frac{{101-99}}{{99\times 101}}=\frac{1}{{99}}-\frac{1}{{101}}$

Từ đó ta có:

$\displaystyle A=\frac{2}{{1\times 3}}+\frac{2}{{3\times 5}}+\frac{2}{{5\times 7}}+\ldots +\frac{2}{{99\times 101}}$

$\displaystyle A=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\ldots +\frac{1}{{99}}-\frac{1}{{101}}=\frac{{100}}{{101}}$

Bài 3: Tính giá trị biểu thức sau:

$\displaystyle A=\frac{1}{{1\times 4}}+\frac{1}{{4\times 7}}+\frac{1}{{7\times 10}}+\ldots +\frac{1}{{97\times 100}}$

Phân tích: Ở bài này ta thấy các mẫu số đều có các thừa số có hiệu bằng 3. Tuy nhiên tử số mỗi phân số là 1. Vì thế, ta sẽ làm xuất hiện tử số chính là hiệu hai thừa số ở mẫu số ⇒ ta nhân thêm 3.

Ta có:

$\displaystyle A\times 3=\frac{3}{{1\times 4}}+\frac{3}{{4\times 7}}+\frac{3}{{7\times 10}}+\ldots +\frac{3}{{97\times 100}}$

$\displaystyle A\times 3=\frac{1}{1}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{{10}}+\ldots +\frac{1}{{97}}-\frac{1}{{100}}$

$\displaystyle A\times 3=1-\frac{1}{{100}}=\frac{{99}}{{100}}$

$\displaystyle A=\frac{{99}}{{100}}:3=\frac{{33}}{{100}}$

*Chú ý: Cần nhớ rằng ta đã nhân thêm 3 để xuất hiện dạng tử số bằng hiệu hai thừa số ở mẫu số để sau đó tách $\displaystyle \frac{{b-a}}{{a\times b}}=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$ nên ta cần chia cho 3 để tính ra kết quả của A. Với bài thi trắc nghiệm, rất nhiều học sinh có phương pháp nháp không tốt, tính nhẩm, ẩu mà quên chia 3 dẫn đến đưa ra đáp số sai.

Bài 4: Tính giá trị biểu thức sau: $\displaystyle A=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{{12}}+\ldots +\frac{1}{{9900}}$

Phân tích: Bài này chưa cho mẫu số dưới dạng tích các thừa số, ta thử nghĩ đến việc tách mẫu số thành tích xem các thừa số ở mẫu số có quy luật hay không.

Ta thấy:

$\displaystyle 2=1\times 2;6=2\times 3;12=3\times 4;\ldots 9900=99\times 100$

Như vậy mẫu số đã được đưa về dạng “quen thuộc” như các bài ở trên.

Ta có:

$\displaystyle A=\frac{1}{{1\times 2}}+\frac{1}{{2\times 3}}+\frac{1}{{3\times 4}}+\ldots +\frac{1}{{99\times 100}}$

$\displaystyle A=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{{99}}-\frac{1}{{100}}=1-\frac{1}{{100}}=\frac{{99}}{{100}}$

Bài 5: Tính giá trị của biểu thức sau:

Phân tích: Ta thử tách mẫu số: $\displaystyle 3=1\times 3;\text{ }6=2\times 3;\text{ }10=2\times 5\ldots $ ta thấy các mẫu số được tách và không xuất hiện quy luật “liên kết” nhau như ở các bài trước. Muốn triệt tiêu lẫn nhau sau khi tách, ta cần các mẫu số có quy luật “liên kết” nhau ví dụ như $\displaystyle 1\times 3;\text{ }3\times 5;\text{ }5\times 7;\ldots $ tức số xuất hiện sau ở mẫu số trước trở thành số xuất hiện đầu ở mẫu số tiếp theo…

Ta thử nhân thêm để xuất hiện quy luật:

Ta có:

$\displaystyle 2\times 3=2\times 3;2\times 6=3\times 4;2\times 10=4\times 5;\ldots 2\times 4950=99\times 100$

⇒ ta có quy luật quen thuộc.

Giải : Ta có

$\displaystyle S\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}\times \left( {\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{{10}}+\ldots +\frac{1}{{4950}}} \right)=\frac{1}{6}+\frac{1}{{12}}+\ldots +\frac{1}{{9900}}=\frac{1}{{2\times 3}}+\frac{1}{{3\times 4}}+\ldots +\frac{1}{{99\times 100}}$

⇒ $\displaystyle \text{S}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{{99}}-\frac{1}{{100}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{{100}}=\frac{{49}}{{100}}$

⇒ $\displaystyle \text{S}=\frac{{49}}{{100}}:\frac{1}{2}=\frac{{49}}{{50}}$

Bài 6: Tính $\displaystyle A=\frac{2}{{1\times 3}}-\frac{4}{{3\times 5}}+\frac{6}{{5\times 7}}-\ldots -\frac{{20}}{{19\times 21}}$

Phân tích: Ở bài này ta thấy các phân số đều có tử số khác 1, mẫu số đã tách thành tích các thừa số “liên kết” nhau, tuy nhiên hiệu hai thừa số ở mẫu số không bằng tử số. Ta nhận xét thấy tổng hai thừa số ở mẫu số đều gấp 2 lần tử số. Do đó ta nghĩ đến việc nhân thêm 2 để đưa về dạng tổng thừa số ở mẫu số bằng tử số $\displaystyle \left( {\frac{{b+a}}{{a\times b}}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \right)$

Giải:

$\displaystyle 2\times A=\frac{{1+3}}{{1\times 3}}-\frac{{3+5}}{{3\times 5}}+\frac{{5+7}}{{5\times 7}}-\ldots -\frac{{19+21}}{{19\times 21}}$

$\displaystyle 2\times A=\left( {\frac{3}{{1\times 3}}+\frac{1}{{1\times 3}}} \right)-\left( {\frac{5}{{3\times 5}}+\frac{3}{{3\times 5}}} \right)+\left( {\frac{7}{{5\times 7}}+\frac{5}{{5\times 7}}} \right)-\ldots -\left( {\frac{{21}}{{19\times 21}}+\frac{{19}}{{19\times 21}}} \right)$

$\displaystyle 2\times A=\left( {\frac{1}{1}+\frac{1}{3}} \right)-\left( {\frac{1}{3}+\frac{1}{5}} \right)+\left( {\frac{1}{5}+\frac{1}{7}} \right)-\ldots -\left( {\frac{1}{{19}}+\frac{1}{{21}}} \right)$

$\displaystyle 2\times A=\frac{1}{1}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\ldots -\frac{1}{{19}}-\frac{1}{{21}}=1-\frac{1}{{21}}=\frac{{20}}{{21}}$

$\displaystyle A=\frac{{20}}{{21}}:2=\frac{{10}}{{21}}$

3. Bài tập tự giải

Bài 7: Tính giá trị của biểu thức: $\displaystyle A=\frac{2}{{1\times 3}}+\frac{2}{{3\times 5}}+\frac{2}{{5\times 7}}+\ldots +\frac{2}{{99\times 101}}$

Bài 8: Tính giá trị của biểu thức: $\displaystyle A=\frac{2}{{3\times 7}}+\frac{2}{{7\times 11}}+\frac{2}{{11\times 15}}+\ldots +\frac{2}{{99\times 103}}$

Bài 9: Tính giá trị của biểu thức: $\displaystyle A=\frac{7}{2}+\frac{7}{6}+\frac{7}{{12}}+\frac{7}{{20}}+\frac{7}{{30}}+\frac{7}{{42}}+\frac{7}{{56}}+\frac{7}{{72}}+\frac{7}{{90}}$

Bài 10: Tính giá trị $\displaystyle A=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{{10}}+\frac{1}{{15}}+\ldots +\frac{1}{{120}}$

Bài 11: Tính giá trị $\displaystyle A=\frac{5}{{3\times 6}}+\frac{5}{{6\times 9}}+\frac{5}{{9\times 12}}+\frac{5}{{12\times 15}}+\ldots +\frac{5}{{96\times 99}}$

Bài 12: Tính $\displaystyle A=\frac{{505}}{{10\times 1212}}+\frac{{505}}{{12\times 1414}}+\frac{{505}}{{14\times 1616}}+\ldots +\frac{{505}}{{96\times 9898}}$

Bài 13: Tính $\displaystyle A=1-\frac{5}{6}+\frac{7}{{12}}-\frac{9}{{20}}+\frac{{11}}{{30}}-\frac{{13}}{{42}}+\frac{{15}}{{56}}-\frac{{17}}{{72}}+\frac{{19}}{{90}}$

Bài 14: Tính $\displaystyle A=\frac{1}{{15}}+\frac{2}{{45}}+\frac{3}{{135}}+\frac{4}{{345}}+\frac{5}{{759}}$

Bài 15: (Đề thi Toán Châu Á Thái Bình Dương APMOPS 2013)

Tính $\displaystyle A=10\times \left( {\frac{1}{{1\times 2}}+\frac{5}{{2\times 3}}+\frac{{11}}{{3\times 4}}+\frac{{19}}{{4\times 5}}+\ldots +\frac{{89}}{{9\times 10}}} \right)$

Bài 16(*): Tính $\displaystyle M=\frac{{10}}{{56}}+\frac{{10}}{{140}}+\frac{{10}}{{260}}+\ldots +\frac{{10}}{{1400}}$

Bài 17(*): Tính giá trị $\displaystyle S=\frac{1}{5}+\frac{1}{{20}}+\frac{1}{{44}}+\frac{1}{{77}}+\frac{1}{{119}}+\frac{1}{{170}}$

Bài 18: Tính $\displaystyle A=\frac{1}{{1+2}}+\frac{1}{{1+2+3}}+\frac{1}{{1+2+3+4}}+\ldots +\frac{1}{{1+2+3+\ldots +99}}$

Bài 19(*): Tính giá trị: $\displaystyle S=\frac{{2+3}}{{1+2+3}}+\frac{{2+3+4}}{{1+2+3+4}}+\ldots +\frac{{2+3+\ldots +2013+2014}}{{1+2+3+\ldots +2013+2014}}$

Bài 20: Tính giá trị $\displaystyle A=\frac{7}{2}+\frac{7}{6}+\frac{7}{{12}}+\frac{7}{{20}}+\frac{7}{{30}}+\frac{7}{{42}}+\frac{7}{{56}}+\frac{7}{{72}}+\frac{7}{{90}}$

Bài 21(*): Tính giá trị:

$\displaystyle A=\frac{3}{{1\times 1\times 2\times 2}}+\frac{5}{{2\times 2\times 3\times 3}}+\frac{7}{{3\times 3\times 4\times 4}}+\frac{9}{{4\times 4\times 5\times 5}}+\ldots +\frac{{19}}{{9\times 9\times 10\times 10}}$

Bài 22(**): Tính giá trị:

$\displaystyle A=1-\frac{{11}}{6}+\frac{{19}}{{12}}-\frac{{29}}{{29}}+\frac{{41}}{{30}}-\frac{{55}}{{42}}+\frac{{71}}{{56}}-\frac{{89}}{{72}}+\frac{{109}}{{99}}$